发布时间 : 星期一 文章课标通用最新高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数2.2函数的单调性与最值学案理更新完毕开始阅读511641a8baf67c1cfad6195f312b3169a551ea6f
§2.2 函数的单调性与最值
考纲展示?
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会利用函数的图象理解和研究函数的性质.
考点1 函数单调性的判断(证明)
单调函数的定义
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的定义 任意两个自变量的值x1，x2 当x1
(1)[教材习题改编]函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) 1
A．k>
21
C．k>－
2答案：D
(2)[教材习题改编]当k<0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是________函数．(填“增”或
- 1 -
1B．k<
21
D．k<－
2
“减”)
答案：减
解析：当k＜0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是减函数．
单调性易错点：单调性是区间内的性质．
函数f(x)＝x－1在定义域内________单调性．(填“有”或“没有”) 答案：没有
解析：虽然函数在区间(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，但不能说函数在定义域内为单调函数，函数的单调区间是函数定义域的子集，定义域不一定是函数的单调区间．
2
[典题1] (1)[2017·浙江金华模拟]若函数f(x)＝－x＋2ax与g(x)＝(a＋1)[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0) C．(0,1) [答案] D
[解析] f(x)＝－x＋2ax的对称轴为x＝a，要使f(x)在[1,2]上为减函数，必须有a≤1，又g(x)＝(a＋1)
1－x2
2
1－x在区间
B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]
在[1,2]上是减函数，所以a＋1>1，即a>0，故0 (2)[2017·广东佛山联考]试讨论函数f(x)＝[解] 解法一(定义法)： 设－1 axx－1 (a≠0)在(－1,1)上的单调性． ?x－1＋1?＝a?1＋1?， ??? ?x－1??x－1? ? 1? f(x1)－f(x2)＝a?1＋?－a?1＋? ?x1－1??x2－1? ＝ ? 1? ax2－x1 ， x1－1x2－1 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) - 2 - 解法二(导数法)： f′(x)＝ ＝ ax′x－1axx－1′ － 2 x－1x－12 2 ax－1－axa＝－2 x－1x－1 . 当a＞0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增． [点石成金] 判断函数单调性的方法 (1)定义法：取值，作差，变形，定号，下结论． (2)利用复合函数关系：若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”． (3)图象法：从左往右看，图象逐渐上升，单调递增；图象逐渐下降，单调递减． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 考点2 求函数的单调区间 单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是________或________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做函数y＝f(x)的单调区间． 答案：增函数 减函数 区间D (1)[教材习题改编]函数f(x)＝22 答案：－，－ 73 (2)[教材习题改编]f(x)＝x－2x，x∈[－2,4]的单调递增区间为________，f(x)max＝________. 答案：[1,4] 8 2 2 在[－6，－2]上的最大值和最小值分别是________． x－1 - 3 - 1.常见函数的单调性：一次函数、二次函数、反比例函数． 12 函数f(x)＝－x＋2x的单调递增区间是________；函数y＝的单调递减区间是 x_____________________________________． 答案：(－∞，1] (－∞，0)，(0，＋∞) 解析：根据二次函数、反比例函数的单调性可得． 2．复合函数的单调性：同增异减． 12 函数f(x)＝log(x－1)的单调递增区间是________． 2答案：(－∞，－1) 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所求区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间，即(－∞，－1)． [典题2] (1)[2017·河北衡水月考]函数f(x)＝log1 (x－x－2)的单调递增区间为 2( ) 1??A.?－∞，? 2??C．(－∞，－1) [答案] C [解析] 由x－x－2>0得x<－1或x>2，又u＝x－x－2在(－∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝log1 u为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，故选 2C. (2)求函数y＝－x＋2|x|＋1的单调区间． ??－x＋2x＋1，x≥0， [解] 由于y＝?2 ?－x－2x＋1，x<0，???－ 即y＝? ?－? 22 2 2 2?1?B．?，＋∞? ?2?D．(2，＋∞) x－1x＋1 2 ＋2，x≥0，＋2，x<0. 2 画出函数图象如图所示． - 4 -