发布时间 : 星期四 文章高考数学二轮复习专题六数列、不等式及数学归纳法第1讲等差数列与等比数列梯度训练(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读514406b6dcccda38376baf1ffc4ffe473268fd6c
解析:由题意得{}也构成一个等差数列,
所以=+(2 016-2 014)×=a+2(b-a)=2b-a,
即S2 016=4 032b-2 016a. 答案:4 032b-2 016a
11.设正项数列{an}的前n项和是Sn,若{an}和{a1= .
}都是等差数列,且公差相等,则
解析:设等差数列{an}的公差为d,则Sn=n+(a1-)n,
2
=,数列{}是等差
数列,则是关于n的一次函数(或者是常函数),则a1-=0,=n,从而数列{}的公差
是,那么有=d,d=0(舍去)或d=,则a1=.
答案:
12.设Sn是等比数列{an}的前n项和,an>0,若S6-2S3=5,则S9-S6的最小值为 .
解析:=,=S3(S9-S6),
S9-S6===S3++10≥10+10=20,
当且仅当S3=5时取“=”,则S9-S6最小值为20. 答案:20
13.各项均为正数的等比数列{an}满足:a1>1,a6+a7>a6a7+1>2,记数列{an}前n项积为Tn,则满足Tn>1的最大正整数n的值为 . 解析:a6+a7>a6a7+1>2?因为a1>1,所以
a6a7>1?a1a12=a2a11=…=a6a7>1?T12>1, a7<1?a1a13=a2a12=…=a6a8<1?T13<1,
所以满足条件的n的最大值为12. 答案:12
14.已知集合A={n|是 .
≥λ,n∈N},若A中有且仅有3个元素,则实数λ的取值范围
*
解析:令=,考查{}的单调性,
-=-=,
当n=2时,->0,即>,
当n≥3时,-<0,此时{}单调递减,
=,=,=,=,
由题意知,A中有且仅有3个元素,只需大于第四项即可,所以<λ≤.
答案:{,}
三、解答题
15.设数列{an}的前n项和为Sn,n∈N,已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1 . (1)求a4的值;
*
(2)证明:为等比数列;
(3)求数列{an}的通项公式. (1)解:令n=2,则4S4+5S2=8S3+S1 ,
所以4(1+++a4)+5(1+)=8(1++)+1,解得a4=. (2)证明:4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1?4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn,
即4an+2+an=4an+1 ,
所以4(an+2-an+1)=2an+1-an=2(an+1-an),
所以an+2-an+1=(an+1-an),
所以n≥2时,是公比为的等比数列.
当n=1时,由a1=1,a2=,a3=可验证得,a3-a2=(a2-a1).
综上可得,是公比为的等比数列.
(3)解:由(2)以及a2-a1=1可得,
an+1-an=(a2-a1)·=,
所以
n
-=4?2an+1-2an=4.
n+1n
所以{2an}是公差为4的等差数列, 所以2an=2a1+(n-1)·4=4n-2,
n
所以an=(4n-2)·=(2n-1)·.
*
16.已知正项数列{an},{bn}满足:对任意n∈N,都有an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=10,a2=15. (1)求证:数列{
}是等差数列;
(2)求数列{an},{bn}的通项公式;
(3)设Sn=++…+,如果对任意n∈N,不等式2aSn<2-
*
恒成立,求实数a的取值范围.
(1)证明:由已知,2bn=an+an+1,①
=bnbn+1,② 由②可得,an+1=将③代入①得,
对任意n∈N,n≥2时,有2bn=即2
=
+
,所以{
*
,③
+,
}是等差数列.
(2)解:设数列{}的公差为d,由a1=10,a2=15,得b1=,b2=18,
所以=,=3,
所以d=-=,
所以,=+(n-1)d=+(n-1)·
=(n+4),
所以,bn=,=bn-1bn=·,
an=.
(3)解:由(2),==2(-),
所以,Sn=2[(-)+(-)+…+(-)]=2(-),
故不等式2aSn<2-化为4a(-)<2-,
即a<对n∈N恒成立,
*