发布时间 : 星期三 文章第28届全国中学生物理竞赛复赛试题及参考答案更新完毕开始阅读51c18ee6cec789eb172ded630b1c59eef9c79adf
第28届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答及评分标准
一、参考解答：
解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
x2y2??1 a2b2
（1）
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有
a3T2 3?2 （2） y
aeTe设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
P c?a?r0 （3）
abOrP S ?P P0xb?a2?c2 （4） 由图1可知，P点的坐标
图1
x?c?rPcos?P （5） y?rPsin?P （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得
?a（7） 根据求根公式可得
22sin2?P?b2cos2?P?rP?2b2crPcos?P?b2c2?a2b2?0
b2?a?ccos?P?rP?22asin?P?b2cos2?P（8）
由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
rP?0.896AU (9)
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 E=?(10)
Gmms 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
Gmms12?Gmms?mvP??????2r2a?P?（11）
得
vP?Gms?（12）
代入有关数据得
21?rPa
vP=4.39?10m?s (13)
设P点速度方向与SP0的夹角为?(见图2)，根据开普勒第二定律
4?1rPvPsin????P??2?（14）
其中?为面积速度，并有
yP ??πab （15） TabOrP S 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
o?P ?P0x ??127 （16）
图2 解法二
取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为?，取逆时针为正向，用r、?表示彗星的椭圆轨道方程为
r?p1?ecos?
（1）
其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知
p?a?1?e2?（2）
将（2）式代入（1）式可得
a1?e2r?1?ecos???
（3）
以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有
a3T2?23aeTe（4）
在近日点??0，由（3）式可得
e?1?r0a
（5）
将?P、a、e的数据代入（3）式即得
rP?0.895AU（6）
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能 E=?(7)
式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
Gmms 2aGmms12?Gmms?mvP??????2r2a?P?（8）
可得
vP?Gms?（9）
代入有关数据得
21?rPa
vP=4.39?10m?s (10)
设P点速度方向与极轴的夹角为?，彗星在近日点的速度为v0，再根据角动量守恒定律，有
4?1rPvPsin????P??r0v0（11）
根据（8）式，同理可得
v0?Gms?（12） 由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据
21? r0a ??127 (13) 评分标准：
本题20分 解法一
（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13) 式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．
解法二
（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10) 式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．
二、参考解答：
1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情况如图：
of1为地面作用于杆AB的摩擦力，N1为地面对杆AB的支持力，f2、N2为杆AB作用于杆CD的摩擦力和支持力，N3、N4分别为墙对杆AB和CD的作用力，mg为重力.取杆AB和CD构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有
N4?N3?f1?0 （1） N1?2mg?0 （2）
以及对A点的力矩
y D N4 ??B N3 E F N2 mg f2 mg C f1 N1 A x ??O 11??mglsin??mg?lsin??lsin???N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 22??即