发布时间 : 星期三 文章新课标版备战高考数学二轮复习难点2.4数列的通项公式与求和问题等综合问题教学案文更新完毕开始阅读5236e5e9abea998fcc22bcd126fff705cd175ce4
数列的通项公式与求和问题等综合问题
数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等.数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题． 一、数列的通项公式
数列的通项公式在数列中占有重要地位，是数列这部分内容的基础之一，在高考中，等差数列和等比数列的通项公式，前n项和公式以及它们的性质是必考内容，一般以填空题、选择题的形式出现，属于低中档题，若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交融，难度就较大，也是近几年命题的热点.
1.由数列的前几项归纳数列的通项公式
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)或(－1)例1. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式 （1）-1,7，-13,19，…； （2）0.8,0.88,0.888，…； （3）－
nn＋1
来调整．
115132961,,?,,?,,...； 248163264思路分析：归纳通项公式应从以下四个方面着手： (1)观察项与项之间的关系； (2)符号与绝对值分别考虑； (3)规律不明显，适当变形．
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2－32－32－32－32－32－3n－，原数列化为－1，2，－3，4，…，∴ an＝(－1)·n.
222222
点评：求数列的通项时，要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想． 2.由数列的递推关系求通项
若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，(n>1)，则这个关系式称为数列的递推公式．
由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法： (1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法． an＋1
(2)＝f(n)型，采用叠乘法．
an
(3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．
例2.对于数列?an?,?bn? a1?b1?1,an?1??n?1??an?n,bn?1?3bn?2,n?N.
?1234n
（1）求数列?an?、?bn?的通项公式； （2）令cn?2?an?n?，求数列?cn?的前n项和Tn.
n?bn?1?2思路分析：（1）由Sn?1??n?1??Sn?an?n化简得an?1?an?2n?1，利用累加法求得an?n，对
n?1bn?1?3bn?2利用配凑法求得通项公式为bn?2g3?1；（2）化简cn?2?n2?n?2ng3n?1?n?1，这是等差数列n?13除以等比数列，故用错位相减求和法求得前n项和为Tn?152n?5. ?n?144g3
（2）cn?2?n2?n?2ng3n?1?n?1234nn?1, ① ,?T????...??n3n?13031323n?23n?12 / 11
则3Tn?2g334nn?1，② ???...??001n?3n?2333331n?11?n?1n?1152n?5152n?5?113②-①得2Tn?6??1??2?...?n?2??n?1?6?. ?n?1???T??nn?1n?113?3322g344g3?331?31?点评：本题主要考查递推数列求通项的方法，考查了累加法和配凑法，考查了错位相减求和法.对于an来说，化简题目给定的含有Sn的表达式后，得到an?1?an?2n?1，这个是累加法的标准形式，故用累加法求其通项公式，对于bn来说，由于bn?1?3bn?2，则采用配凑法求其通项公式，对于cn来说，由于它是等差数列除以等比数列，故用错位相减求和法求和. 3.由Sn与an的关系求通项an
数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特
??Sn （n＝1），殊性．Sn与an的关系为：an＝?
?Sn－Sn－1 （n≥2）.?
例3. 【安徽省淮南市2018届第四次联考】已已知数列?an?,?bn?,Sn为数列?an?的前n项和，且满足
a2?4b1,Sn?2an?2, nbn?1??n?1?bn?n3?n2n?N*.
（1）求数列?an?的通项公式； （2）求?bn?的通项公式
n思路分析：（1）由Sn?2an?2的关系得当n?2时，Sn?1?2an?1?2相减得an?2an?1,an?2.n?2检验
??n?1时， a1?2适合上式即得数列?an?的通项公式（2）Qnbn?1??n?1?bn?n2?n3，两边同时除以n?n?1?得
bn?1bn??n累加法即得解. n?1n3 / 11
点评：已知数列前n项和与第n项关系，求数列通项公式，常用an???S1,n?1将所给条件化为关于
S?S,n?2n?1?n前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.注意：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示 4.等差数列前n项和的最值 等差数列的单调性与Sn的最大或最小的关系.
ad?0（1）若d?0，则等差数列?an?中有a，即an?an?1，所以数列为单调递增； n?n?1?S(n?2)，所以S当a1?0时，有Sn?n?1n的最小值为S.
当a1?0时，有则一定存在某一自然数k，使a或?a?a?L?a?0?a?L?a123kk?1n，则Sa?a?a?L?a?0?a?L?a123kk?1nn的最小值为Sk.
ad?0 （2）若d?0，则等差数列?an?中有a，即an?an?1，所以数列为单调递减； n?n?1?当a1?0时，有则一定存在某一自然数k，使a或 ?a?a?L?a?0?a?L?a123kk?1n，则Sn的最大值为Sk. a?a?a?L?a?0?a?L?a123kk?1nS(n?2)，所以S当a1?0时，有Sn?n?1n的最大值为S.
例4.数列?an?的前n项和为Sn，a1?t，an?1?2Sn?1（n?N*）． （1）t为何值时，数列?an?是等比数列？
（2）在（1）的条件下，若等差数列?bn?的前n项和Tn有最大值，且T3?15，又a1?b1，a2?b2，a3?b3等比数列，求Tn．
思路分析：（1）先由an?1?2Sn?1求出an?1?3an.再利用数列?an?为等比数列，可得a2?3a1，就可以求
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