发布时间 : 星期六 文章(浙江专用)2020版高考数学一轮复习专题3导数及其应用第23练高考大题突破练—导数与不等式练习(含解析)更新完毕开始阅读52bb54f9a3c7aa00b52acfc789eb172ded6399ab
第23练 高考大题突破练—导数与不等式
[基础保分练]
1.(2019·绍兴检测)已知函数f(x)=axe
2-x-2(x-1),a∈R.
2
(1)当a=-4时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)当02.
12
2.(2019·诸暨模拟)已知函数f(x)=lnx-x+.
x(1)试讨论函数f(x)的单调性; (2)设实数k使得(x-1)(e-x求实数k的最大值.
2
x2
e+1)≥(x+1)·(k+ln(2x))对任意x∈(0,
+∞)恒成立,
1x 1
3.(2019·宁波模拟)已知函数f(x)=a(x-1),g(x)=(ax-1)ex,其中a∈R. (1)证明:存在唯一的实数a使得直线y=f(x)与曲线y=g(x)相切; (2)若不等式f(x)>g(x)有且只有两个整数解,求实数a的取值范围.
[能力提升练]
4.已知函数f(x)=1-xax+lnx.
(1)若f(x)≥0对任意x>0恒成立,求a的值; (2)求证:ln(n+1)>12n-1*
22+32+…+n2(n∈N).
答案精析
基础保分练
1.(1)解 当a=-4时,f(x)=-4xe2-x-2(x-1)2
,
得f′(x)=4(x-1)(e
2-x-1),
2
令f′(x)=0,得x=1或x=2. 当x<1时,x-1<0,e
2-x-1>0,
所以f′(x)<0,故f(x)在(-∞,1)上单调递减; 当1
2-x-1>0,
所以f′(x)>0,故f(x)在(1,2)上单调递增; 当x>2时,x-1>0,e
2-x-1<0,
所以f′(x)<0,故f(x)在(2,+∞)上单调递减.
所以f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上单调递减,在(1,2)上单调递增. (2)证明 由题意得f′(x)=(1-x)(ae2-x+4),其中0 由f′(x)>0,得x<1,由f′(x)<0, 得x>1, 所以f(x)在(-∞,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减. 所以f(1)=ae>0,f(0)=-2<0, f(2)=2a-2=2(a-1)<0, 所以函数f(x)有两个不同的零点,且一个在(0,1)内,另一个在(1,2)内. 不妨设x1∈(0,1),x2∈(1,2), 要证x1+x2>2,即证x1>2-x2, 因为0<2-x2 由???f(2?xx?x22)?a(2?x2)e2?2(12),??f(xe2?x 22)?ax2?2(x22?2)?0,得f(2-x2)=a[(2-x2)ex2-x-x22e2]. 令g(x)=(2-x)ex-xe 2-x,x∈(1,2), 2 2x则g′(x)=(x-1)e-e e x. 因为1 -e2x<0, 所以当x∈(1,2)时,g′(x)<0, 即g(x)在(1,2)上单调递减, 所以g(x) 又ag(x)=f(2-x)(1 3 2.解 (1)∵函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 21- 又f′(x)=-2-1= xxx-1x22 ≤0, ∴f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上为单调递减函数. (2)由题意得(x-1)(e-xe)+x-ln(2x)-1≥k对任意x∈(0,+∞)恒成立.令g(x)=xx12x-ln(2x)-1, 得g′(x)=1-1x=x-1 x, 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减, 当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0, g(x)在(1,+∞)上单调递增, ∴g(x)在x=1时取得最小值,g(x)min=g(1)=-ln 2. ∵x>0时,通过变形可得 f(x)=ln(xe1 x)-ln???1xxe?? ? , 由(1)有f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,当x=1时,f(1)=0, ∴当x∈(0,1)或x∈(1,+∞)时, 1均有(x-1)(ex-x2ex)>0, 1而当x=1时,(x-1)(ex-x2ex)=0, 1即当x=1时,(x-1)(ex-x2ex)取得最小值0,则k≤-ln 2, 故实数k的最大值为-ln 2. 3.(1)证明 假设存在实数a使得y=f(x)与y=g(x)相切,设切点为(x0,y0), 由g′(x)=(ax+a-1)ex, 可知(ax0+a-1)ex0=a, 即a(xxxx0e0+e0-1)=e0,① 又切点既在直线上又在曲线上, 则a(x0-1)=(ax0-1)ex0, 即a(x0ex0-x0+1)=ex 0,② 联立①②消去a,有ex0+x0-2=0.③ 设q(x)=ex+x-2,则q′(x)=ex+1>1, 所以q(x)在R上单调递增, 而q(0)=-1<0,q(1)=e-1>0,q(0)q(1)<0. 4