发布时间 : 星期日 文章第二章 导数与微分课后答案更新完毕开始阅读53a200fdda38376baf1faef1
F?(x)?f?(x2?1)?2x?f?(1?x2)?(?2x) ?F?(1)?2f?(0)?2f?(0)?0
F?(?1)??2f?(0)?2f?(0)?0 ?F?(1)?F?(?1)
★ 13.求下列函数的导数:
知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数
(1)
y?ch(shx);
解:y??sh(shx)?(shx)??sh(shx)?chx
(2)
y?shx?echx;
chx解:y??(shx)??e(3)
?shx?echx?(shx)??chx?echx?shx?echx?shx?echx(chx?sh2x)
y?th(lnx);
解:y??11? ?(lnx)?ch2lnxx?ch2(lnx)(4)
y?sh3x?ch2x;
22解:y??3shx?(shx)??2chx?(chx)??3shx?chx?2chx?shx
(5)
y?arch(e2x);
2x解:y??[arch(e)]??1e4x?1?(e2x)??1e4x?1?2e2x
(6)
y?arsh(1?x2).
11?(1?x)2解:y??习题2-3
?(1?x2)??2x1?(1?x)2 ★ 1.求下列函数的二阶导数:
知识点：高阶导数
思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导
(1)
y?x5?4x3?2x;
423解:y??5x?12x?2 y???20x?24x
(2)
y?e3x?2;
13
解:y??e(3)
3x?2?(3x?2)??3e3x?2 y???3e3x?2?(3x?2)??9e3x?2
y?xsinx;
解:y??x?sinx?x(sinx)??sinx?xcosx
y???(sinx)??x?cosx?x(cosx)??2cosx?xsinx
(4)
y?e?tsint;
?t?t?t解:y??(e)?sint?e(sint)??e(cost?sint)
y???(e?t)?(cost?sint)?e?t(cost?sint)???2e?tcost
(5)
y?1?x2; 解:y??(1?x2)?21?x2??x1?x2
y????x?1?x2?x(1?x2)?(1?x)221?x2?x(?x??1?x21?x2)??1(1?x)23
(6)
y?ln(1?x2);
(1?x2)?2x??解:y??1?x21?x2(7)
(2x)?(1?x2)?2x(1?x2)?2(1?x2)?? y????(1?x2)2(1?x2)2
y?tanx;
22解:y??secx y???2secx?(secx)??2secxtanx
(8)
y?1; 2x?1
?(x2?1)?2x??解:y??(x2?1)2(x2?1)2(2x)?(x2?1)?2x?[(x2?1)2]?2(x2?1)?2x?2(x2?1)2?2x6x2?2y???????22424(x?1)(x?1)(x?1)3x(9)y?xe2
.
x2解:y??x?e2?x(ex)??ex?xex(x2)??ex(1?2x2)
22222222y???(ex)?(1?2x2)?ex(1?2x2)??2xex(1?2x2)?ex?4x?2xex(3?2x2)
14
★ 2.设
f(x)?(3x?1)10,求f???(0).
知识点：高阶导数
思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:f?(x)?10(3x?1)?(3x?1)??30(3x?1)
99f??(x)?30?9(3x?1)8(3x?1)??810(3x?1)8
f???(x)?810?8(3x?1)7(3x?1)??19440(3x?1)7 ?f???(0)?194 40★ 3.已知物体的运动规律为s?Asin?t(A,?是常数),求物体运动的加速度,并验证:
d2s2??s?0. 2dt知识点：高阶导数
思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:s??A?cos?t s???A?sin?t
2d2sd2s2?a?2??A?sin?t ?2??2s??A?2sin?t?A?2sin?t?0
dtdt★ 4.验证函数
y?C1e?x?C2e??x(?,C1,C2是常数)满足关系式: y????2y?0
知识点：高阶导数
思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:y??C1?e?x?C2?e??x y???C1?2e?x?C2?2e??x
?y????2y??2(C1e?x?C2e??x)??2(C1e?x?C2e??x)?0
★★ 5.设
g?(x)连续,且f(x)?(x?a)2g(x),求f??(a).
知识点: 导数的定义
思路: 因为g??(x)不一定存在,不能直接求二阶导数,要利用导数的定义求
2解:f?(x)?2(x?a)g(x)?(x?a)g?(x) ?f?(a)?0
又?g?(x)连续,但g?(x)不一定存在 ?limg?(x)x?a?g?(a)
?f??(a)?limx?af?(x)?f?(a)f?(x)?lim?lim[2g(x)?(x?a)g?(x)]?2g(a) x?ax?ax?ax?a★★ 6.若
d2yf??(x)存在,求下列函数的二阶导数2:.
dx 15
知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则 思路: 利用链式法则求导 (1)y?f(x);
解:y??f?(x)?3x ?y???6xf?(x)?3xf??(x)?3x?6xf?(x)?9xf??(x) (2)y?ln[f(x)].
3232323433f??(x)?f(x)?[f?(x)]2f?(x)解:y?? ?y??? 2[f(x)]f(x)★★★ 7.已知
?ax2?bx?c,x?0f(x)??在x?0处有二阶导数,试确定参数a,b,c的值.
ln(1?x),x?0?知识点：可导与连续的定义，以及可导与连续的关系
思路：由已知条件得方程组，联立方程组求解
解:?f(x)在x?0处有二阶导数 ?f(x)在x?0处连续，且f?(x)在x?0处连续
从而有 又 ? 而
2lim(ax?bx?c)?0 ?c?0 limf(x)?f(0)，即??x?0x?0f(x)在x?0处可导 ?f??(0)?f??(0)
x?0f??(0)?lim?f(x)?f(0)ln(1?x)?lim?1
?x?0x?0x
f(x)?f(0)ax2?bxf_?(0)?lim?lim?b
?x?0?x?0x?0xf??(0)?f??(0)?1
?b?1，且
?2ax?1,x?0?1?,x?0 ?f?(x)??1?x?,x?0??1 又
f(x)在x?0处二阶可导 ?f???(0)?f???(0)
1?1f?(x)?f?(0)1?x??(0)?lim 而 f??lim??1 x?0?x?0?xxf?(x)?f?(0)(2ax?1)?1??(0)?lim f??lim?2a
x?0?x?0?xx1 ?2a??1，即a??
28.求下列函数所指定阶的导数:
16