发布时间 : 星期三 文章习题二答案详解 随机变量及其分布更新完毕开始阅读54562a83ec3a87c24028c467
习题二 随机变量及其分布
(A)
2.1 将随机变量X表示为随机试验E的基本事件的函数． (1) 设E——掷两枚硬币，X是正面出现的次数．
(2) 设E——接连对同一目标射击直到命中目标为止，是射击的次数．
(3) 设E——从?0?{a,b,c,d,e}随意抽取三个元素，X是a和b同时出现的次数． 解 (1) ???(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),?，其中0——反面, 1——正面；
X(0,0)?0,X(0,1)?X(1,0)?1,X(1,1)?2．
(2) ?={1,2,?,n,?}，X(k)?k?k?1,2,?,n,??．
(3) ???(abc),(abd),(abe),(acd),(ace),(ade),(bcd),(bce),(bde),(cde)?，随机变量X有1和0两个可能值：
X(abc)?X(abd)?X(abe)?1，X(acd)???X(cde)?0．
2.2 接连进行3次独立射击，假设每次射击命中目标的概率为数X的概率分布．
解 易见X有0,1,2,3等4个可能值设AkP(Ak)?0.4，而且A1,A2,A3相互独立，因此
P?X?0??P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.4?0.064，3p?0.6，求命中目标的次
?{第k次射击命中}(k?1,2,3)，由条件P(Ak)?0.6，
P?X?1??P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?3?0.6?0.4?0.288，2P?X?3??P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.6?0.216，3
P?X?2??1?0.064?0.288?0.216?0.432，于是X的概率分布为
?0X~??0.064?10.28820.432??0.216??3．
2.3 自集合{1,2,3}中先后抽出两个数，求抽到偶数的次数X的概率分布和分布函数． 解 易见X有1,2等两个可能值设AkP?X?0??P(A1A2)??{第k次抽到偶数}(k?1,2)，则
2?13?2?13，P?X?1??1?13?23．
于是X的概率分布为
?0X~?1??31?2??3?．
随机变量X的分布函数为
? 0 ，若x?0，??1F(x)??，若0?x?1，
3??? 1，若x?1 ．—习题解答●2.1—
2.4 假设有7件一等品和3件二等品混放在一起，每次从其中任意抽取一件，直到取到一等品为止．试分别求抽取次数X的概率分布，假设，
(1) 凡是取到的二等品都放回； (2) 将取到的二等品都剔除．
解 (1) 凡是取到的二等品都放回直到取到一等品为止，相当于还原抽样．设Ai取到的是一等品}(i?1,2,?)，则?X立，因此X的概率分布为
P{X?n}?P(A1?An?1An)?P(A1)?P(An?1)P(An) ?0.7?0.3n?1?{第i次
?n??A1?An?1An因为是还原抽样，所以事件A1,A2,?相互独
?n?1,2,?? ．这时，X的概率分布称做参数为p?0.7的几何分布
(2) 将取到的二等品都剔除直到取到一等品为止，相当于非还原抽样．抽取次数X显然有1,2,3,4等4个可能值设Ai?{第i次取到的是一等品}(i?1,2,3,4)，则
710，310?79?730，P?X?1??P(A1)?P?X?2??P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P?X?3??P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?310?71029??78730??71207120，?1120 ．
P?X?4??1?于是X的概率分布为
?1X~?7??102730371204?1?． ?120?2.5 已知离散型随机变量X的分布函数为F(x)，求X的概率分布，其中
? 0 ，若x?0，??0.5，若0?x?1，??0.6，若1?x?2，F(x)??
?0.8，若2?x?3，?0.9，若3?x?3.5，??? 1 ，若x?3.5．解 分布函数的间断点是离散型随机变量的可能值，因此X的可能值为{0,1,2,3,3.5}；分
布函数F(x)在间断点x0上的跃度等于P{X?x0}：
P{X?0}?F(0)?F(0?0)?0.5?0＝0.5 ，P{X?1}?F(1)?F(1?0)?0.6?0.5?0.1 ，P{X?2}?F(2)?F(2?0)?0.8?0.6?0.2 ，P{X?3}?F(3)?F(3?0)?0.9?0.8?0.1 ，P{X?3.5}?F(3.5)?F(3.5?0)?1?0.9?0.1 ．
于是X的概率分布为
—习题解答●2.2—
?0X~??0.5?10.120.230.13.5??． 0.1??2.6 假设10件产品中有两件不合格品，现在一件一件地将产品取出直到查到一件合格品为止．
(1) 试求抽出产品件数X的概率分布；
(2) 写出随机变量X的分布函数F(x)． 解 (1) 引进事件Ak={第k件取到的是合格品}(kP?X?1??P?A1??810?3645抽验产品件数X?1,2,3)．
2?810?9?845 ，的概率分布为
，P?X?2??P?A1A2??2?1?810?9?8?145
P?X?3??P?A1A2A3?? ．(2) 由抽验产品件数X的概率分布容易写出其分布函数
? 0 ，若x?1，?36?，若1?x?2，?45 F(x)??44?，若2?x?3，?45? 1 ，若x?3．?2.7 假设6名学生的考试成绩单中有一张有差错，现在随意一张一张地检查直到找出这张成绩单为止．以X表示一共需要检查的张数，求X的概率分布．
解 对于任意k=1,2,3,4,5,6，（无论是还原还是非还原抽样）在第k次查出有错误的表的概率都等于1/6（见例1.10），因此X的概率分布为
?1X~??16?2163164165166??16??．
事实上，利用古典型概率的计算公式，可以得同样结果：对于任意k=1,2,3,4,5,6，有
P{X?k}?(6?1)?(6?k?1)?16(6?1))?(6?k?1)?16．
2.8 假设10件产品中恰好有2件不合格品，从中一件一件地抽出产品直到抽到合格品为止，求最后抽出产品件数X的分布函数．
解 先求X的概率分布．易见，X有1,2,3等3个可能值，且
P{X?1}?810?45；P{X?2}?2?810?9?845；P{X?3}?1?45?845?145 ．
于是，X的分布函数为
? 0 ，若 x?1 ；?4? ，若1?x?2 ；?5F(x)?P{X?x}??
44?，若2?x?3 ；?45?? 1 ，若 x?3 ．—习题解答●2.3—
2.9 甲和乙二人轮流对同一目标射击，并且甲先射，直到有一人命中目标为止．已知甲和乙二人的命中率相应为0.4和0.5，试求甲射击次数X的概率分布．
解 设Ai?{甲第i次射击命中}，Bj?{乙第j次射击命中}(i,j?1,2,?)．显然?Ai?以及B?j?相互独
立．因此，有
P?X?1??P(A1)?P(A1B1)?0.4?0.6?0.5?0.7；P?X?2??P(A1B1A2)?P(A1B1A2B2) ?P(A1B1)P(A2)?P(A1B1)P(A2B2) ?0.6?0.5?0.4?0.6?0.5?0.3?0.7；P?X?3??P(A1B1A2B2A3)?P(A1B1A2B2A3B3) ?P(A1B1)P(A2B2)P(A3) ?P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)?0.3?0.7．222
对于任意正整数n?1,2,3,?，有
n?1n?1n?1P?X?n??P?A1B1?An?1Bn?1An??P?A1B1?An?1Bn?1AnBn??0.3?0.4?0.3?0.6?0.5 ?0.3?0.7．
2.10 一条交通干线上6处设有红绿信号灯，红、绿两种信号交替开放且开放的时间为1:2．假设有一辆汽车沿此街道驶过，以X表示它首次遇到红灯之前已通过绿灯的次数．求X的概率分布．
解 随机变量X有0,1,2,?,6等7个可能值．引进事件：Ak={汽车在第k个信号灯处首次遇到红灯}（k=1,2,3,4,5,6）．事件A1,A2,?,A6显然独立，且P(Ak)?1/3(kP?X?0??P?A1??P?X?k??P?A1?AkAk?1??2313k?1,2,?,6)．因此，有
；k?1?k2366?1,?,5? ； ．P?X?6??P?A1?A6???0?X~1??31232222333323444235552366?62? ?63?2.11 设随机变量X的分布函数为
?0 ，若x?0；?x? ，若0?x?1；?2 F(x)??2? ，若1?x?3；?3??1 ，若x?3，(1) 问随机变量X是离散型的还是连续型的？ (2) 求事件?X?2?,?X?1?,?X?1/2?,?2?X?3?的概率．
解 (1) 由于区间(0,1)的每一个数都是X的可能值，可见X不是离散型随机变量由
—习题解答●2.4—