发布时间 : 星期四 文章习题二答案详解 随机变量及其分布更新完毕开始阅读54562a83ec3a87c24028c467
P?X?1??F(1)?F(1?0)?23?1223??1613，
，P?X?3??F(3)?F(3?0)?1?可见X也不是连续型随机变量，因为连续型随机变量等于任何给定值的概率都等于0这样，
X既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量，我们称之为离散-连续型的 (2) 现在求事件?X?2?,?X?1?,?X?1/2?,?2?X?3?的概率．
P?X?2??F(2?0)?F(2)?P?X?1??F(1)?F(1?0)?2323?，12?16，1?13??1?P?X???1?F???1??，2?44??2?P?2?X?3??F(3?0)?F(2)?23?23
?0 ．2.12 已知随机变量X的概率密度为
2??x??axe，若x?0， f(x)??? 0 ，若x?0，?其中??0是参数，试求，
(1) 未知系数a； (2) 随机变量X的分布函数F(x)；
(3) 随机变量X在区间(0,1/?)取值的概率． 解 (1) 求未知系数a
??1????f(x)dx?axe0?2?? xdx??a??xe2a2?? x0?2a???0xe?? xdx??2a??2xe?? x0?2a?
?2?0e?? xdx??3 ．因此a??32
x(2) 求X的分布函数F(x)当x?0时显然F(x)=0；设x?0，则
F(x)????f(t)dt??3x2?0te2?? tdt????2xx2?? xte2?? t0??2?0te?? tdt
??xe?? x???22xe2?? x??xe?? x??e0?dx???22xe2?? x?e?? x?1．于是X的分布函数为
122??? x，若x?0，?1?(?x?2?x?2)eF(x)?? 2? 0 ，若x?0．?(3) 随机变量X在区间(0,1/?)取值的概率为
1?5??1??1?P?0?X???F???F(0)?F???1???2e???????—习题解答●2.5—
．
2.13 某加油站每周的销售量X（千加仑）是一随机变量，其概率密度为
4??5(1?x)，若0?x?1， f(x)??? 0 ，若不然. ．?该加油站每周初将油库充满．假如一周内油库被吸干的概率为1%，试求油库的容积V．
解 由题意知，容积V满足条件
10.01?P?X?V???V5(1?x)dx??(1?x)451V ?(1?V)．5由此可见V?1?50.01?0.6019（千加仑），即近似2736（升）．
2.14 一食盐供应站的月销售量X（百吨）是随机变量．其概率密度为
?2(1?x)，若0?x?1，f(x)??
0 ，若不然.．?问每月至少储备多少食盐，才能以96%的概率不至于脱销？
解 假设每月至少储备a吨食盐，那么满足条件P?Xaa?a??0.962．由于
P?X?a?????f(x)dx?2(1?x)dx?1?(1?a)?0.96 ,
?0可见
a?1?0.04?0.8（百吨），
即每月至少储备80吨食盐．
2.15 假设某物资站负责向15家化工企业供应硫酸，统计资料表明每家企业每周进料的概率为0.40．试求该物资站每周实际供货家数的概率分布，以及每周最多有8家企业要求供货的概率?．
解 以?15表示每周要求供货家数，可以视为n=15 次伯努利试验“成功”（进货）的次数，每次试验成功的概率为p?0.40因此?15服从参数为(n,p)的二项分布：
P??15?k??C150.400.60kk15?k (k?0,1,?,15)．
每周最多有8家企业要求供货的概率
8??P??15?8???Ck?0k150.400.60k15?k?0.9050．
2.16 实力相当的二人进行某种对抗赛，假设每局都要决出胜负，问对于每个人，是“赛满五局至少三局获胜”的概率大，还是“赛满八局至少五胜获胜”的概率大？
解 对于每个人，以P53表示“五局三胜”获胜的概率，以P85表示“八局五胜”获胜的概率；分别以X5和X8表示“五局三胜”获胜的次数和以“八局五胜”获胜的次数．那么，X5服从参数为(5, 0.5)的二项分布，X8服从参数为(8, 0.5)的二项分布．因此，
—习题解答●2.6—
P53?P?X5?3??3(C5?4C5?5?C5)?1?16?0.5；??32?2?85
935678?1?P85?P?X8?5??(C8?C8?C8?C8)????0.3633.．256?2?由此可见赛满五局至少三局获胜的概率大．
2.17 假设炮击命中目标的概率为0.2．现在共发射了14发炮弹．试求， (1) 命中目标的次数的概率分布；
(2) 摧毁目标的概率，已知至少两发炮弹命中目标即可将其摧毁．
解 (1) 以X表示14发炮弹命中目标的次数，可以视为n=14次伯努利试验，每次试验成功的概率为p=0.2，则X服从参数为(n,p)的二项分布：
P?X?k??C140.20.8kk14?k (k?0,1,?,14) ．(2) 摧毁目标的概率为
P?X?2??1?P?X?2??1?P?X?0??P?X?1??１－0.814?14?0.813
?0.2?0.8021． 2.18 一批共100件产品，其中10件不合格品．按验收规则，从中任意取出5件进行检验；假如未发现不合格品，则接收这批产品，否则就对这批产品进行逐个检验．
(1) 试求任意取出的5件产品中不合格品件数X的概率分布；
(2) 需要对这批产品进行逐个检验的概率?． 解 这是一道涉及超几何分布的题：n?5,akn?kk?10,b?90．
(1) 由古典型概率的计算公式可得，任意取出的5件产品中不合格品件数X的概率分布
P{X?k}?CaCbnCa?b?C10C90C10055?k(k?0,1,?,5)．
(2) 需要对这批产品进行逐个检验的概率?．
??P?X?0??1?P?X?0??0.4162．
2.19 在40名乒乓球选手中有12名种子选手，现在抽签选出9名参加某项对抗赛．以X表示9名参赛选手中种子选手的人数，试求随机变量X的概率分布和不足5名选手的概率?． 解 (1) 自40名乒乓球选手中随机地选出n=9名有C940种不同情形，其中恰好选到
k： k(0?k?9)名种子选手的情形有C12种，从而得X的概率分布（超几何分布）
P?X?k??C12C28C409k9?k(k?0,1,?,9)
(2) 选到不足5名种子选手的概率
44??P?X?5???P?Xk?0?k???k?0C12C289C40k9?k?0.9285
2.20 假设某药物产生副作用的概率为2‰．试求在1000例服该药的患者中， (1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值；
—习题解答●2.7—
(2) 最少有一例出现副作用的概率，并利用泊松分布求其近似值．
解 设?n——n例服药者出现副作用的人数，n=1000，p =0.002，则?n服从参数为(n,p)的二项分布；而根据泊松定理，?n近似服从参数为np(1) 恰好有0,1,2,3例出现副作用的概率相应为
P{?n?0}?e?2?2的泊松分布．
?2?0.1353； P{?n?1}?2e?0.2707； P{?n?3}?43?0.2707；?0.1804．P{?n?2}?2e?2e?2
(2) 最少有一例出现副作用的概率
P{?n?1}?1?P{?n?0}?1?e?2?0.8647．
2.21 一台设备有2000个同型号可靠元件,每个元件的可靠性(无故障工作的概率)为0.9995．假如只要三个元件发生故障就势必引起设备的故障．试求该设备发生故障的概率p．
解 设X是2000个元件中发生故障的个数，则该设备发生故障的概率为
20002000p?P?X?3???P?Xk?3?k???Ck?3k20000.00050.9995k2000?k．
由于n=2000充分大，故由泊松定理知X近似服从?2000?2000?0.005?1的泊松分布．因此，
k2000?kp?P?X?3??2000?Ck?3k20000.00050.9995??k?3e1??1??1??1?1??e?0.0803 ．k !2???1
2.22 假设运载火箭在飞行中进入仪器舱的宇宙线粒子数服从参数为?的泊松分布,而进入仪器舱的粒子到达仪器的要害部位的概率为p．试求到达要害部位的粒子数X的概率分布．
解 设?是进入仪器舱的宇宙线粒子数，则由条件知?服从参数为?的泊松分布，其中到达要害部位的粒子数X关于{?=n}的条件概率分布是参数为(n,p)的二项分布：
P?X?k??n??Cnpqkkn?k (k?0,1,2,?,n)，
其中q?1?p，而P{Xk?0,1,2,??0??0}?1是只有0一个可能值的退化分布．由全概率公式可见，对于
，有
P?X?k????P?Xn?k??k??n?P???n?(?p)k!(?p)k!kk?????n?kkCnkpq??kn?k?nn!?e???e?n?k(?q)n?k(n?k)!
?(?p)k!e?m?0(?q)m!m?e??p．于是，X服从参数为?p的泊松分布．
2.23 假设在一定时间内通过某交叉路口的救护车的辆数服从泊松分布，而且通过该交叉路口的救护车的平均辆数与时间的长度成正比．已知一小时内没有救护车通过此交叉路口的概率为0.02，试求两小时内至少有一辆救护车通过该交叉路口的概率?．
—习题解答●2.8—