发布时间 : 星期一 文章习题二答案详解 随机变量及其分布更新完毕开始阅读54562a83ec3a87c24028c467
解 以X(t)表示在t小时内通过此交叉路口的救护车的辆数．由条件知，EX(t)??t，其中?是比例系数．于是，X(t)服从参数为?t的泊松分布．由条件知，
??P?X(1)?0??e?0.02 ，
???ln0.02 ， ??ln50．两小时内至少有两辆救护车通过的概率
??P?X(2)?1??1?P?X(2)?1??1?P?X(2)?0??1?e?2ln50 ?0.9996 ．2.24 假设一日内到过某商店的顾客数服从参数为?的泊松分布，而每个顾客实际购货的概率为p．以X表示一日内到过该商店的顾客中购货的人数，试求X的概率分布．
解 设?是一日内到过该商店的顾客的人个数，它服从参数为?的泊松分布．设X是一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由全概率公式可见，对于任意自然数m P?X?m????n?0,1,2,?，
?P?Xn?mn?m??m??n?P???n??n??n?????mmn?m?] ?e??eCnp(1?p)n !n !n?m????n?mm[Cnp(1?p)?m?
k?(?p)m !(?p)m !mem???(n?m) !?(1?p)??n?m1n?m?(?p)m !m?e???k?01k !?(1?p)???e??e(1?p)??(?p)m !me?? p．于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X服从参数为?p的泊松分布．
2.25 假设某地区一年内发生有感地震的次数X和无感地震的次数Y分别服从参数为?1和?2的泊松分布，并且相互独立：对于任意自然数i和j，事件{X?i}和{Y?j}相互独立．试在一年共发生了n(n?0)次地震的条件下，求有感地震次数X的条件概率分布．
解 由条件知，一年共发生地震次数可以是任意自然数n?0,1,2,?，有
n P?X?Y?n??n?P{Xi?0?i,Y?n?i}n??P{Xi?0?i}P{Y?n?i}?n?i?0?1i?2nn?ii !(n?i) !ee?(?1??2)
?1n !e?(?1??2)?i?0iCn??i1n?i2?(?1??2)n !?(?1??2) ． 对于任意自然数k(0?k?n)，有
P{X?k,X?Y?n)P{X?Y?n}?????n !＝P{X?k,Y?n?k}P{X?Y?n}kn?knP{X?kX?Y?n}?? P{X?k}P{Y?n?k}P{X?Y?n}????k?1?2k!(n?k)!(?1??2)． e?(?1??2)e?1??2
??1k?Cn?????2?1??2?????2?1n?k于是，在“一年内共发生了n(n?0)次地震”的条件下，有感地震次数X的条件概率分布
—习题解答●2.9—
是参数为(n, p)的二项分布，其中
p??1(?1??2)．
2.26 假设一生产线源源不断地加工某种可靠元件，其不合格品率为p?0.3%．一装置自动检测陆续生产的每一只元件，并将不合格品剔除．试求，
(1) 剔除一件不合格品至少要加工20只元件的概率?；
(2) 为以概率Q=0.95出现一件不合格品，所加工元件的最少只数n．
解 这是一道涉及几何分布的题．源源不断地加工元件，恰好出现1只不合格品时，已经生产元件只数X服从参数为p的几何分布．
(1) 出现1只不合格品已经生产元件只数X服从参数为p几何分布，因此
???P?X?20???(1?p)19?k?20p(1?p)k?1?p(1?p)191?(1?p)
??0.997?19?0.9445 ．(2) 现在求满足P?X?n??Q?0.95n的最小n．由
?k?1 P?X?n???k?1p(1?p)n?1??k?n?1p(1?p)nk?1?1?p(1?p)n1?(1?p)
?1?(1?p)?1?(0.997)?Q?0.95 ，可见(0.997)n?0.05，从而
n?lg(1?Q)lg(1?p)?lg0.05lg0.997?997.08．
于是，最少生产998只元件才能使出现1件不合格品的概率不小于0.95．
2.27 假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布N(0,?2)．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，求未知分布参数?．
解 由条件知，随机误差e服从正态分布N(0,?2)，所以由
，
?|e|20?P? |e|?20??P? ???0.95????可见
20??1.96 ， ??2201.96?10.20．
2.28 假设随机测量的误差X解 由条件X~N(0,10)．设?2~N(0,10)，求在100次独立重复测量中，至少三次测量的
|?21.7?出现的次数，而
绝对误差大于21.7的概率?的近似值．
为100次独立重复测量中事件? |X，
?|X|?p?P? |X|?21.7??P??2.17??0.03?10?可见?服从参数为(100 , 0.03)的二项分布；因为n?100充分大而p?0.03充分小，所以根据泊
松定理?近似服从参数为np?3的泊松分布．因此
??P???3??1?P???3??1?P???0??P???1??P???2??1?0.97?1?e?3100?100?0.97?399?0.03 ??3100?992?0.9798?0.03 ．2
?3e?4.5e?3?1?e?1?3?4.5??0.5768—习题解答●2.10—
2.29 假设X~N(0,1)．问随机变量
? X ，若|x|?1， Y????X ，若|x|?1．服从什么分布？
解 设?(x)是标准正态分布函数．由标准正态分布的对称性，对任意x?P?Y?x??P??X?x??P?X??x??1?P?X??x?
?1?P?X?x??P?X?x???(x)；对于任意x?1，由于对于标准正态分布P{X?1}?P{X??1}，可见
P?Y?x??P?Y??1??P??1?Y?1??P?1?Y?x??P??X??1??P??1??X?1??P?1??X?x??P?X?1??P??1?X?1??P??x?X??1??1?P?X?1??P?X?1??P?X??1??P?X??1??P?X??x??1?P?X??x??1?P?X?x??P?X?x???(x)；?1，有
对任意?1?x?1，由于对于标准正态分布P{X?1}?P{X??1}，可见
P?Y?x??P?Y??1??P??1?Y?x??P?X?1??P??1?X?x??1?P?X?1??P?X?x??P?X??1? ?P?X?1??P?X?x??P?X??1??P?X?x???(x) ．于是，随机变量Y服从标准正态分布．
2.30 假设随机变量X服从参数为(?,?2)的对数正态分布：X服从参数为(??,?2)对数正态分布．
证明 随机变量X服从参数为(?,?2~LN(?,?)2．证明Y?1X)的对数正态分布，其密度为
2?lnx?????12?e2?，若x?0，f(x)??2?? x
?? 0 ，若x?0．现在证明Y?1X服从对数正态分布．事实上，由于Y?1X只取正值，故对于y?0，其密
度g(y)=0；对于y?0，有（设u?1t）
P?Y?y??P? 1X?y??P?X?1?12π? 1/y?1/y??1?P?X?1/y??01t??lnt???22?2edt?1??lny???2?2?2π? u?21y1??lnu???22?2e du ； g(y)?12π? y?e ?y?0? ．于是，Y?1X服从参数为(??,?2)的对数正态分布．
2.31 某仪器上装有三只同样电气元件，其寿命同服从参数为?=1/600的指数分布．已知
—习题解答●2.11—
这各元件的状态相互独立，求在安装后工作的前200个小时里，至少有一只元件损坏的概率?．
解 以Xk(k?1,2,3)表示第
k只元件的寿命，Xk都服从同一指数分布，参数为?=1/600；
从而Xk的分布函数为
?x600?，若x?0，?1?e． F(x)??? 0 ，若x?0．?以Ak(k?1,2,3)表示事件“第k只元件在仪器工作的前200个小时里损坏”，则
P(Ak)?P{Xk?200}?e? 200600?e? 13；??P(A1?A2?A3)?1?P(A1A2A3) ?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?e? 1
?0.63 ． 2.32 假设一种电池的寿命服从X服从参数为?=1/200的指数分布．有一只电池已经使用了80小时，求它至少还能再使用80小时的概率?．
解 由条件知，这种电池的寿命X服从参数为?=1/200的指数分布，从而X的分布函数为
?x200?，若x?0，?1?e． F(x)???? 0 ，若x?0，因此
??P?X?160X?80???P{X?160}P{X?80}?eeP{X?160,X?80}P{X?80}?e?80/200?160/200?80/200
?2/5?e?0.67 ．3.33 设随机变量X服从区间(0,1)上的均匀分布，求随机变量Y的概率密度g(y)，如果 (1)Y?X2； (2)Y?1X； (3) Y?X；
(4) Y?ln(1X)； (5)Y??ln(1?X)． 解 随机变量X的概率密度和分布函数相应为
若x?0，? 0 ， 1 ， 若0?x?1，??f(x)?? F(x)?? x , 若0?x?1，
0 ， 若不然；?? 若x?1．? 1 ，(1) 当
y?(0,1)时显然g(y)?0；对于y?(0,1)，有
G(y)?P{Y?y}?P{X2?y}?P{X?y}?y；?1 ，若0?y?1 ；?g(y)??2y?? 0 ，若不然．
(2) 当y?0时显然g(y)?0；对于y?0，有
?1?G(y)?P{Y?y}?P?1X?y??P?X??y???1?1 ?1?P?X???1?；y?y?—习题解答●2.12—