发布时间 : 星期三 文章习题二答案详解 随机变量及其分布更新完毕开始阅读54562a83ec3a87c24028c467
?1?2 ，若0?y?1 ； g(y)??y? 0 ，若不然．?(3) 当
y?(0,1)时显然g(y)?0；对于y?(0,1)，有
G(y)?P{Y?y}?P{ |X|?y}?P{X?y}?y；? 1 ，若0?y?1 ；g(y)??? 0 ，若不然．
(4) 当y?0时显然g(y)?0；对于y?0，有
?1??1y?G(y)?P{Y?y}?P?ln?y??P??e??X??X? ?P{X?e?y
}?1?P{X?e?y}?1?e；?y?y?? e ，若 y?0 ； g(y)???? 0 ，若 y?0．(5) 当y?0时显然g(y)?0；对于y?0，有
G(y)?P{Y?y}?P{?ln(1?X)?y}?P{ln(1?X)??y} ?P{1?X?e?y}?P{X?1?e?y}?1?e；?y
?y?? e ，若y?0 ； g(y)???? 0 ，若不然．2.34 假设一装置启动后无故障工作的时间X（min）服从参数为0.5的指数分布，每次启动在无故障的情形下只需工作10 min便自行关机．求该装置每次启动无故障工作的时间T的分布函数；问X是何种类型的随机变量？
解 由条件知X的分布函数为
?0.5x?，若 x?0；?1?eG?x???
?? 0 ，若 x?0．易见，T设F(t)是T?min?X，10?．的分布函数，则对于t?0，F(t)=0；对于t?10，F(t)=1；
对于0?t?10,有
F(t)?P{T?y}?P?min{X， 10}?t??P?X?t??G(y)?1?e?0.5t．
于是，T?min?X， 10?的分布函数为
? 0 ，若 t?0 ，??0.5yF(t)??1?e ，若0?t?10 ,
? 1 ，若 t?10 ．?由于F(10?0)?1?e?5,F(10)?1，故
—习题解答●2.13—
P{X?10}?F(10)?F(10?0)?e?5，
可见X不是连续型随机变量，因为连续型随机变量取任何给定值的概率都应等于0然而，由于F(t)在区间(0,10)上是单调增加的连续函数，可见X不可能是离散型随机变量于是，X既不是连续型随机变量，也不是离散型随机变量
2.35 设X是连续型随机变量，其概率密度为
f(x)?12πx2?12x2e????x???，
求随机变量Y?1/X的概率密度g(y)．
?1/X解 对于任意y?(??,?)，随机变量Y的分布函数G(y)和概率密度g(y)为
12π12π??1??1?G(y)?P?Y?y??P??y??P?X???y??X??g(y)?G?(y)??12πye2? y21y?x? y212? 12x2edx ；2?1???y??????2
．e于是，随机变量Y?1/X的概率密度g(y)是标准正态密度．
2.36 由于加工的误差，钢球的半径R是一随机变量，其概率密度为
?6r(1?r)，若0?r?1，f(r)??
? 0 ，若不然．试求钢球的体积V和表面积S的概率密度f(v)和g(s)．
解 球体积V和表面积S都是球的半径R的函数：
V?43πR,S?4πR32
3v4π球体积V和表面积S的的分布函数分别记作F(v)和G(s)，则
3???4?3F(v)?P?V?v??P?πR?v??P?R???3????G(s)?P?S?s??P4πR?s?P?R???33v????64π??s4π?r(1?r)dr.；0
?2?s????64π???r(1?r)dr．0求导得概率密度
f(v)?F?(v)和g(s)?G?(s)：
?3?3v?3??4πs?3?1，若0?v?，1???????，若0?s?4π，f(v)??2π? g(s)?4π34π4π ??????????? 0 ，若不然；? 0 ，若不然．（B）
2.37 设随机变量X的概率密度
f(x)是偶函数，而F(x)是X—习题解答●2.14—
的分布函数，则对于任意
实数a，有F(?a)?
aa(A)
1??0f(x)dx． (B)
0.5??00f(x)dx． (C) F(a)． (D) 2F(a)?1． [ ]
解 应该选（B）．这是计算性的单项选择题,由于
?f(x)是概率密度且是偶函数，可见
????af(x)dx??0af(x)dx?0.5；?F(?a)?????f(x)dx???f(?t)dt ??a?af(x)dxa
??0f(x)dx??0f(x)dx?0.5??0f(x)dx．于是，（B）是正确选项
说明 该题的一种变式为：设随机变量X的概率密度f(x)是偶函数，F(x)是其分布函数，则对于任意实数a，有F(?a)?
(A) F(a)． (B) 0.5?F(a)． (C) 1?F(a)． (D) 2F(a)?1． [ ] 容易看到，正确的选项是(C)因为f(?x)?f(x)，所以，有(设t??x)
?a?aaF(?a)????f(x)dx????f(?x)dx???f(t)dt?1?F(a)
?于是，选项（C）正确，而其余选项都是错误选项
2.38 设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，其分布函数记作F(x)，则对于任意x，有 (A) F(??x)?F(??x)?1． (B) F(x??)?F(x??)?1．
(C) F(??x)?F(??x)?0． (D) F(x??)?F(x??)?0． [ ] 解 应该选（A）．直观上，显然正态分布
N(?,?)的曲线关于直线x??2对称；设S1为分
S1 ??x S2 ?布曲线、横轴和过点??x直线所夹区域的面积，
S2为分布曲线、横轴和过点??x直线所夹区域
??x 例2.38插图
的面积，则由对称性知S1?S2，因此
F(??x)?S1?S2?1?F(??x)，F(??x)?F(??x)?1．
于是，（A）是正确选项，而其余选项都不成立
说明 选项（A）的正确性，可以通过计算证明事实上，有
F(??x)?12??12????x(t??)2?????ev22?2dt?112????x?????u22e?du ??12??x???v22e?dv ??x?(s??)2
e?dv ?2???e?2ds?1?F(??x)；??x—习题解答●2.15—
F(??x)?F(??x)?1．于是，（A）是正确选项
2.39 设随机变量X~N(?,?2)，则随?的增大，概率P? |X??|???
(A) 单调增大． (B) 单调减小．
(C) 保持不变． (D) 增减不定． [ ] 解 应该选（C）．对于任意?和?，由于
U?X??~N(0,1)，
?可见
?|X??|? P?|X??|????P??1????X?????P??1??1???(1)??(?1)???
为常数，其中?(x)是标准正态分布函数于是，（C）是正确选项
2.40 设F1(x),F2(x)是随机变量的分布函数，f1(x),f2(x)是相应的概率密度，则 (A) F1(x)?F2(x)是分布函数． (B) F1(x)F2(x)是分布函数．
(C) f1(x)?f2(x)是概率密度． (D) f1(x)f2(x)是概率密度． [ ] 分析 应该选（B）．该题宜用直选法，亦可采用排除法
(1) 直选法 设F(x)?F1(x)F2(x)只需证明F(x)具有分布函数的三条基本性质由分布函数F1(x)和F2(x)的基本性质，可见
0?F(x)?1是单调不减的右连续函数，且满足
F(??)?0,F(??)?1，因此F(x)?F1(x)F2(x)本身也是一个分布函数于是（B）是正确选项
(2) 排除法 容易验证（A）（,C）和（D）不成立例如，F1(??)?F2(??)?2，故F1(x)?F2(x)不是分布函数因此选项（A）错误；由于
??[f1(x)???f2(x)]dx?2，
可见f1(x)?f2(x)不是概率密度，因此选项（C）错误；最后，设f1(x)是标准正态密度，而f2(x)是区间[0,1]上的均匀分布密度，则
?1x2???f1(x)f2(x)dx?12??e0?2dx?1，
因此f1(x)f2(x)不是概率密度于是，只有（B）是正确选项
2.41 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0???1)，数u?满足
P{X?u?}??若P?|X|?x???，则x等于
(A) u?2． (B) u1??2． (C) u?1???2． (D) u1??． [ ] 分析 应该选（C）．这是一道计算性的选择题由标准正态分布密度的对称性，知
P?X?x??P?X??x?；因此，由数u?的定义P{X?u?}??，可见
—习题解答●2.16—