发布时间 : 星期一 文章习题二答案详解 随机变量及其分布更新完毕开始阅读54562a83ec3a87c24028c467
??P?|X|?x??1?P?|X|?x? ?1?P?X?x??P?X??x? ?1?2P?X?x?； P?X?x??1??2，x?u(1??)2．于是，选项（C）正确
说明 由关系式P{X?u?}??定义的数u?，称做标准正态分布水平?上侧分位数注意，附表2中的u?是标准正态分布水平?双侧分位数
2.42 随机变量Y?aX?b(a?0)与随机变量X服从同一名称分布，如果X服从
(A) 二项分布． (B) 泊松分布．
(C) 正态分布． (D) 指数分布． ［ ］ 分析 应该选（C）．该题宜用直选法，因为正态分布随机变量的线性函数仍然服从正态分布，应该是熟知的事实
(1) 直选法．设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，其概率密度记作?(x)，以p(x)表示随机变量
的概率密度因为a?0，所以函数
Y?aX?b(a?0)
y?ax?b由惟一反函数
x?h(y)?y?badx1 ， ?h?(y)??dya将h(y)和h?(y)代入公式
p(y)???h(y)?|h?(y)| (???y??)，
得Y?aX?b的概率密度
p(y)???h(y)?|h?(y)| ??1?exp??2????2?112?1?y?b?????a??a????2
?1?exp??22?|a|??2a?2???y?(a??b)?．2?由此可见Y?aX?b~N(a??b,a2?2)于是选项（C）正确
(2) 排除法．对于（A）和（B），由于Y?aX?b一般不取自然数为值，所以一般不服从二项分布和泊松分布对于（D），假设X服从参数为?的指数分布，其概率密度为
??e??x，若x?0， f(x)??? 0 ，若x?0；Y?aX?b的概率密度为
????(y?b) 若y?b,?ea， 若y?b,?f?h(y)?|h?(y)| ，p(y)????|a|
若y?b,?? 0 ， 若y?b．? 0 ，概率密度为p(x)的分布称做二参数指数分布或移位指数分布，不是选项（D）中的分布于
—习题解答●2.17—
是（A），（B）和（D）都是错误选项，只有（C）是正确选项
2.43 连续型随机变量X与?X有不同的概率密度，如果X的概率密度f(x)? ．．．
12?32e? x2(A) (C)
e23?x???． (B) 1?(???x??)?8?4??2? 52(???x??)．
? 3 |x?1| (???x??)． (D)
32x (?1?x?1)．
2 [ ]
分析 应该选（C）．如果X的概率密度f(x)是偶函数，则随机变量X与?X有相同的概率密度．事实上，假设f(x)是偶函数，即f(?x)?f(x)，则随机变量?X的分布函数
?G(x)?P??X?x??P?X??x????x??xf(u)du
???xf(?t)dt????f(t)dt?P?X?x??F(x)，其中F(x)是随机变量X的分布函数，因此则随机变量X与?X有相同的概率分布．
选项（A），（B）和（D）中的f(x)显然是偶函数，只有选项（D）中的f(x)不是偶函数，因此只有（D）是正确选项．
2.44 假设随机变量X的绝对值不大于1，P?X??1??1/8,P?X?1??1/4；在??1?X?1?条件
下，X在任意区间(a,b)?(?1,1)取值的概率与b?a成正比．求X的分布函数．问X是离散型还是连续型随机变量？
解 以F(x)表示X的分布函数．由条件知，当x??1时F(x)=0；
F(?1)?P{X??1}?P{X??1}?18 ；
随机变量在(?1,1)上取值的概率为
P{?1?X?1}?1?18?14?58．
对于?1?x?1，
F(x)?P{X?x}?P{X??1}?P{?1?X?x}，
其中P{X??1}?F(?1)?1/8；
P{?1?X?x}?P{?1?X?x, ?1?X?1}?P{ ?1?X?1}P{?1?X?x?1?X?1}?58?x?(?1)1?(?1)?58?x?12?5x?516 ．
于是，X的分布函数为
? 0 ，若x??1，??5x?7F?x??? ，若?1?x?1，
16??? 1 ，若x?1．—习题解答●2.18—
易见，X既不是离散型也不是连续型随机变量，我们称之为离散-连续混合型随机变量．
2.45 假设伯努利试验成功的概率为p，试求2n次伯努利试验恰好有n?m?0?m?n?次成功且偶数次试验都成功的概率Q．
解 设X——2n次伯努利试验成功的次数，Y——2n次伯努利试验中偶数次试验成功的次数，则X服从参数为(2n,p)的二项分布，而Y服从参数为(n,p)的二项分布．
Q?P?X?m?n,Y?n??P?Y?n?P?X?m?nY?n??p?nmCnpm?1?p?n?m?mCnpn?m?1?p?n?m
．2.46 以X表示n次独立重复试验成功的次数，假设每次试验成功的概率为p，试求X为奇数的概率?．
解 引进随机变量
?0 , 若X为偶数，Y??
1 , 若X为奇数．?易见，所求概率?偶数，则记r?P?Y?1?，故只需求P?Y?1?．记q?1?p；若n为奇数，则记r?n；若n为
?n?1．
P{Y?1}?P{X?1}?P{X?3}???P{X?r} ?nn1Cnpq1n?1?3Cnpq23n?3???rCnpqn?1rn?r;
n1??q?p??q?Cnpqn?1?Cnpqrr2n?2???Cnpn?1q?p；
Cnpq?q?n1n?1?Cnpqn?133n?3???Cnpq2n?2n?rnn?1n?1Cnrr1Cnnpq?2Cnpq?? ?(?1)3n?3pn?1q?(?1)p；]?2P?Y?1?．
nn1?(q?p)?2[Cnpq1n?1?Cnpq3???Cnpqn?r于是，n次独立重复试验成功的次数为奇数的概率
??P?Y?1??12[1?(1?2p)]．
n2.47 假设随机变量X~N0,??2?，求使概率P?e?X?e?最大的?2值．
u2解 设Φ(x)是标准正态分布函数，有
f(?)?P??e??e???e?X?e?????????????????e??u?e2du??2????1e??????e2?e?2??du??；
f?(?)?dd?1P?e?X?e?e??2?222??1?e??2e2?????e2?2e222??e?2e2???????e??e22????e－e2?e???0．??2
由此可见e2??2?e，得??．易见，f?(?)的符号决定于e??与e2的比较：
—习题解答●2.19—
当??e2－e时, e2??2?e，f?(?)＝０； 当??e2－e时，e2??2?e，f?(?)＞０； 当??e2－e时，e2??2?e，f?(?)＜０．
因此，当??e2－e时，f(?)?P?e?X?e?取极大值．因为大值，即当??e－e时P2f(?)的极值唯一，故也是最
X?b?达到最大值？
?e?X?e?取最大值．
22.48 假设???a?b??,X~N(?,?)．问?2
取何值时，概率P?a?解 (1) 当a和b位于?的同侧时，不妨假设a,b??，有
?b????a??? P?a?X?b????????? ，??????ddxP?a?X?b??12???a???22?2eb???2?12???b???22?2ea???2 ?0 ，得
?b???2e2?2??a???22?2?b??a?? ?b???2??a???22?2 ?ln?b????ln?a??? ，?20??b???2??a???2 ．22ln?b????ln?a?????20这样，若a和b位于?的同侧，则当?2时概率P?a?X?b?达到最大值．
(2) 设?位于a和b之间．易见，概率
X??b????a??P?a?X?b??P????
?????关于?单调增加，故关于?无最大值．
2.49 设随机变量X的服从参数为?的指数分布，H(y)是区间(0,1)上均匀分布函数 (1) 求随机变量U?H(X)的分布函数G(u)；
(2) 问随机变量U是连续型的还是离散型的？ 解 熟知X的分布函数为
?3x??1?e，若 x?0；F?x???
? 0 ，若 x?0．?以G(y)表示U?H(X)的分布函数对于u?0，
； G(u)?P?U?u??P?H(X)?u??P?X?0??F(0)?0；对于u?1，由于H(u)?1，可见
G(u)?P?U?u??P?H(X)?u??P(?)?1；
对于0?u?1，
—习题解答●2.20—
G(u)?P?U?u??P?H(X)?u??P?X?u??1?e?3u
于，随机变量U?H(X)的分布函数为
? 0 ，若u?0，??3uG(u)??1?e，若0?u?1，
? 1 ，若u?1．?由于G(1?0)?1?e?3,G(1)?1，可见U不是连续型随机变量，因为连续型随机变量取任何给定值的概率都应等于0然而，由于G(t)在区间(0, 1)上是单调增加的连续函数，可见U不可能是离散型随机变量于是，X既不是连续型随机变量，也不是离散型随机变量
2.50 设F1(x)和F2(x)都是随机变量的分布函数，a和b是非负常数且a?bF(x)?aF1(x)?bF2(x)具有随机变量的分布函数的基本性质．
?1，证明
证明 只需验证F(x)?aF1(x)?bF2(x)满足分布函数的三条基本性质．由条件知a和b非负且a?b?1．由于F1(x)和F2(x)都是分布函数，可见对于任意x，有
0?F(x)?aF1(x)?bF2(x)?a?b?1．
对于任意实数x1?x2，由于Fi(x1)?Fi(x2)(i?1,2)，可见
F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)，
即F(x)单调不减．根据连续函数的一般性质，由F1(x)和F2(x)的右连续性，可见F(x)也右连续．最后，
x???limF(x)?alimF1(x)?blimF2(x)?0 ；x???x???x???limF(x)?alimF1(x)?blimF2(x)?1 ．x???x???
于是F(x)?aF1(x)?bF2(x)也是分布函数．
—习题解答●2.21—