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猪流感病毒的传播与扩散的控制
摘要
流行病毒的扩散与传播的控制问题得到各国领导人和世界卫生组织的重视。各国都采取各种措施预防猪流感病毒的传播和蔓延，为此，为此本文利用微分方程研究了病毒的传播与控制。
针对问题一，本文考虑将人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，并在此前提下，通过分析各类人群之间的转化关系，利用微分方程模型，建立了流行病病毒扩散与传播的控制模型。
针对问题二，在问题一的基础上，且满足问题中的四个条件要求的前提下，对问题二进行了模拟求解，并得到患者人数随时间变化的曲线图（见图1），标识了曲线图中峰值的坐标，根据图1得：患者人数虽时间变化呈现出先逐渐升高至峰值再逐渐下降，直至趋近于0.根据实际情况：疫情在刚开始传播与扩散时，政府等有关部门还没有意识到，尚未采取有关控制措施，导致患者逐渐增加。政府等部门采取控制措施后，疫情得到控制，致使患者随时间变化逐渐减少。因此，该模型的结果较为合理。
针对问题三，在问题二的基础上，对问题二的条件4作微调之后进行模拟，得到图2。比较图2与图1得到：患者人数随时间变化更加明显，呈现出患者人数的峰值提前且人数减少，在峰值处，患者人数更少。根据实际情况，政府应极早采取控制措施，有利于疫情的控制，所得结果与实际相吻合。
针对问题四，在问题二的基础上，对问题二的条件3作修改之后进行模拟，得到图3。变化情况与问题三处理后情况类似。
各参数对模型峰值的影响结果如下表： 疑似患者 确诊患者 条件 峰值时间（天） 峰值数值（人） 峰值时间（天） 峰值数值（人） t=2,p=0.75 6 2583 34.9 682 t=1,p=0.75 5.5 1761 34.6 471 t=2,p=0.9 4.9 1222 31.8 321 通过对表中数据的分析比较可知在t值相同时，隔离强度p值越大疫情的受控程度越高；在p值相同时，控制时间t越早疫情受控程度越高。但隔离强度p对疫情的传播和扩散影响更为显著，因此隔离强度p对疫情的控后结果影响更敏感。
综合上述及结果对比分析可得：参数的变化直接影响了结果的变化，从而可很好反映出政府干预的有效性。结合参数的敏感性分析以及实际情况，给政府拟出一个建议报告。
关键词：病毒的传播与扩散 微分方程模型 参数估计 数学模型
问题重述
流行病毒的扩散与传播的控制问题得到各国领导人和世界卫生组织的重视。各国都采取各种措施预防猪流感病毒的传播和蔓延。假设该病毒的潜伏期为d1至d2天，得病患者经治疗经过d3天可以治愈，严重的可能引起患者死亡。该病毒可通过直接接触、口腔飞沫进行传播、扩散。设人群中每人每天的接触人数为r。人群中的人可以分为5类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡人和正常人，可控制参数是隔离措施强度，即潜伏期内的患者及疑似患者被隔离的百分数。
因此我们需要建立流行病毒扩散与传播的数学模型，为我国的预防措施提供理论上的依据，本文要解决的问题有：
一、建立流行病病毒扩散与传播的控制模型； 二、利用所建立的模型针对如下条件进行模拟： 条件（1）d1=2, d2=7, d3=20, r=15；
条件（2）出事发病人数为50人，疑似患者280人； 条件（3）隔离强度p=75%；
条件（4）患者2天后入院治，疑似患者2天后被隔离。
给出患者人数随时间变化的曲线图，并标识图中的一些特殊点的具体数据，分析结果的合理性。
三、将问题二中条件（4）改为患者1天后入院治疗，疑似患者1天后隔离，模拟结果的变化情况。
四、 将问题二中条件（3）的隔离强度p改为90%，观察模拟结果的变化，分析问题中参数对计算结果的敏感性。
五、针对以上数据给政府部门写一个不超过400字的建议报告。
问题假设
1、假设治愈后人体具有免疫能力在较长时间内不会再次患病； 2、假设不可控的病毒携带者在人群中是均匀分布的；
3、假设一个地区内在疫情期间人口的迁入、迁出、出生率、死亡率对模型没有影响。
符号说明
St——在第t天人群中的正常人数
在第t天的确诊患者数
It——
Rt——第t天移出者（治愈者和死亡者）数 Nt——
第t天疑似患者数
y1——疑似患者每天被诊断为正常人占疑似者的比例 y2——疑似患者每天被诊断为患者的比例 p——隔离强度
——每人每天接触人数
?——潜伏期内患者转化为患者的日转化率 h——每天系统移出率
k问题分析
流行病毒的扩散与传播是一个非常复杂的机制，社会生活中的各种动态因素都能直接或间接的对流行病毒的扩散和传播产生影响，因此我们作出合理的问题假设对模型进行相应的简化使其更真实的接近实际情况。
问题一：题中将人群分为五类即：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡人和正常人，为了简化模型，根据实际情况作出合理假设，将治愈者和死亡者化为一
类统称为移出者，因此，将人群分为四类。四类人群之间的转化关系：
在实际情况中，流行病在人群中扩散和传播速度与政府的介入与采取措施的程度有较大关系，因此设置一个时间T，时间T前为流行病自然传播阶段，时间T后为受控阶段，根据这两个时期的参数，建立控前和控后模型。
问题二：根据问题一中建立的微分方程模型，考虑政府介入后疫情指标的变化和题中给出的条件对模型进行控制前和控制后的模拟，画出患者人数随时间的走势图，通过图形对数据进行分析。
模型的建立
模型一
1、控前阶段
控前阶段流行病毒自然传播，即在时间T前各人群之间随时间的转化如下： 正常人的变化情况：（1）患者与正常人接触后转化为疑似患者的部分；（2）疑似患者中经确认没有患该病的部分。 疑似患者的变化情况：（1）患者与正常人接触后，被接触的正常人转化为疑似患者；（2）疑似患者转化为确诊者的部分；（3）疑似患者中转化为正常人的人数。
确诊患者的变化情况：（1）疑似患者被确诊后转化来的部分；（2）确诊患者经过治疗后，病人治愈或死亡即转化为移出者的部分。
退出者的变化情况只与确诊者经治疗后的情况有关。
根据各人群之间的转化关系建立流行病扩散与传播的微分模型：
dS1???I1?k?y1?N1?dt??dN1?I?k?y?N?y?N12111?dt （1） ?dI1??y2?N1?h?I1?dt?dR1??h?I1dt?2、控后阶段
控制后疑似病人开始被隔离，所以疫情发展受到限制开始放慢，由于受到隔离强度p影响此时病人的接触人数随时间的变化逐次减少，与时间成反比关系即：k1?k?e?p?t,仿照控前各人群之间的转化关系则：（1）新增疑似患者为：（2）新增确诊患者为：y2?N2?h?I2。 I2?k1?y2?N2?y1?N2；所以得到控后阶段微分模型：
?dN2?I2?k1?y2?N2?y1?N1??dt （2） ?dI2??y2?N2?h?I2?dt?模型的求解
1问题二的求解
利用问题一中建立的微分模型进行模拟求解,条件如下： 条件1. 的d1=2, d2=7, d3=20, r=15；
条件2. 已经知道出事发病人数为50人，疑似患者280人； 条件3. 隔离强度p=75%；
条件4. 患者2天后入院治疗；疑似患者2天后被隔离。 由以上条件得到微分方程模型： 控制前T?0?2天
?dN1?I1?k?y2?N1?y1?N1??dt ?dI1??y2?N1?h?I1?dt??N1(0)?280 ??I1(0)?50控制后T?2?150天