发布时间 : 星期二 文章十年真题(2010-2019)高考数学（文）分类汇编专题07 数列（新课标卷）（解析版）更新完毕开始阅读55226f56112de2bd960590c69ec3d5bbfd0ada80
若从数列{an}中抽m(m?N,m?4)项，其前三项必成等差数列，不成立. 综上可知，数列{an}不存在等差子数列.
（2）假设数列{an}中存在3项n0?a，n0?a?k，n0?a?l(k?l)成等比. 设n0?a?b，则b?Q?，故可设b?2q（p与q是互质的正整数）. p则需满足?n0?a?k???n0?a??n0?a?l?，
k2pk2?2k?即需满足(b?k)?b(b?l)，则需满足l?2k?. bq2取k?q，则l?2k?pq.
?q?q2q22此时(b?q)???q??2?2?q2，
pp?p?2?q2q?qq2b(b?l)???2q?pq??2?2?q2.
p?pp?p故此时(b?k)?b(b?l)成立.
因此数列{an}中存在3项n0?a，n0?a?k，n0?a?l(k?l)成等比， 所以数列{an}存在等比子数列.
18．在等差数列?an?中，已知公差d?2，a2是a1与a4的等比中项 （1）求数列?an?的通项公式； （2）若数列?bn?满足an?（3）令cn?2bbb1b?22?33?L?nn，求数列?bn?的通项公式； 3?13?13?13?1anbnn?N*，数列?cn?的前n项和为Tn. 4??【答案】（1）an?2n；（2）bn?2(3?1)；（3）Tn【解析】
n2n?1??3n?1?3n?n?1??. ??422（1）因为a2是a1与a4的等比中项，所以(2?a1)?a1(a1?6)?a1?2，
∴数列?an?的通项公式为an?2n.
bbb1b?22??33?L?nn?n?1?① 3?13?13?13?1bbb?1bb∴an?1?1?22??33?L?nn?n?n②
3?13?13?13?131?1（2）∵an?②－①得：
bn?1n?1n*b?23?1b?23?1n?N?a?a?2，，故。 ??????n?1nn?1nn?13?1（3）cn?anbn?n?3n?1??n?3n?n， 4∴Tn?c1?c2?c3?L?cn?1?3?2?3?3?3?L?n?323n令Hn?1?3?2?3?3?3?L?n?3，① 234n?1则3Hn?1?3?2?3?3?3?L?n?3②
?23n???1?2?L?n?，
①－②得： ?2H?3?32?33?L?3n?n?3n?1?n31?3n1?3???n?3n?1，
∴Hn2n?1??3n?1?3? ?4∴Tn?c1?c2?c3?L?cn?1?3?2?3?3?3?L?n?3∴数列?cn?的前n项和Tn?23n???1?2?L?n?。
2n?1??3n?1?3n?n?1?? ??4219．已知等差数列?an?满足a3?2a2?1,a4?7，等比数列?bn?满足b3?b5?2?b2?b4?，且
2b2n?2bn?n?N*?.
（1）求数列?an?，?bn?的通项公式；
（2）记数列?an?的前n项和为Sn，若数列?cn?满足为Tn.
n?1n【答案】(1) an?2n?1，bn?2 (2) Tn?(2n?3)2?3.
cc1c2????n?Sn?n?N*?，求?cn?的前n项和b1b2bn【解析】
（1）设{an}的首项为a1，公差为d，则有a1?2d?2(a1?d)?1，a1?3d?7，
解得a1=1,d=2所以an?2n?1，
n?1设bn?b1q，由已知b3?b5?2(b2?b4)，可得q=2，
22n?1?2(b12n?1)2，可得b1?1，所以bn?2n?1， 由b2n?2bn可得，b12（2）由（1）知，Sn?所以
n(2n?1?1)?n2，
2ccc1c2cc??L?n?n2，1?2?L?n?1?(n?1)2(n?2)， b1b2bnb1b2bn?1cn?2n?1， 两式相减可得，bn当n?1时，c1?1满足上式，所以cn?(2n?1)2n?1，
Tn?1?20?3?21?L?(2n?1)2n?1，2Tn?1?21?3?22?L?(2n?1)2n
2nn两式相减可得，?Tn?1?2?L?2?(2n?1)2
22(1?2n?1)?1??(2n?1)2n
1?2?(3?2n)2n?3
所以Tn?(2n?3)2?3.
20．等差数列?an?前n项和为Sn，且S4?32，S13?221． （1）求?an?的通项公式an；
n?1?*b?3b?b?an?Nb（2）数列?n?满足n?1?且1，求?b?的前n项和Tn． nn??n?【答案】(1) an?2n?3 (2) Tn?【解析】
（1）等差数列?an?的公差设为d，前n项和为Sn，且S4?32，S13?221． 可得4a1?6d?32，13a1?78d?221， 解得a1?5，d?2，
1?311????? 2?2n?1n?2?可得an?5?2?n?1??2n?3； （2）由bn?1?bn?an?2n?3，
可得bn?b1??b2?b1???b3?b2?????bn?bn?1?
1?3?5?7???2n?1?n(2n?4)?n(n?2)，
211?11?????， bn2?nn?2?1?111111111?nT?1??????L????则前项和n??
2?32435n?1n?1nn?2??1?311?????． 2?2n?1n?2?21．设?an?是单调递增的等比数列，Sn为数列?an?的前n项和．已知S3?13，且a1?3，3a2，a3?5构成等差数列． （1）求an及Sn；
（2）是否存在常数?．使得数列?Sn???是等比数列?若存在，求?的值；若不存在，请说明理由．
1??13n?1S???a?3【答案】（1）n，Sn?（2）存在常数．使得数列?n?是等比数列，详见解析
22??2n?1【解析】
?a1?a2?a3?13 （1）由题意得?6a?a?a?813?2∴a2?3， a1?a3?10
∴
31?3q?10， 解得q?3或 q?（舍） q3n?2所以an?a2q?3，Sn?n?11??1?3n?1?33n?1 .
?2（2）假设存在常数?．使得数列?Sn???是等比数列， 因为S1???1??，S2???4??，S3???13??，