发布时间 : 星期日 文章十年真题(2010-2019)高考数学（文）分类汇编专题07 数列（新课标卷）（解析版）更新完毕开始阅读55226f56112de2bd960590c69ec3d5bbfd0ada80
所以?4?????1?????13???，解得??21， 213n 此时Sn??2213nSn?2?2?3?n?2?， 13n?1Sn?1?22∴存在常数??
1?13?1
．使得数列?Sn??是首项为a1??，公比为3等比数列 ． 22?22?22．对于无穷数列{an}，{bn}，若bk?max?a1,a2,L,ak??min?a1,a2,L,ak?，k?1,2,3,L，则称{bn}是{an}的“收缩数列”.其中max?a1,a2,L,ak?，min?a1,a2,L,ak?分别表示a1,a2,L和最小数.
已知{an}为无穷数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是{an}的“收缩数列”. （1）若an?2n?1，求{bn}的前n项和； （2）证明：{bn}的“收缩数列”仍是{bn}； （3）若S1?S2?L?Sn?,ak中的最大数
n(n?1)n(n?1)a1?bn(n?1,2,3,L)且a1?1，a2?2，求所有满足该条件的22{an}.
?a1,n?1【答案】（1）n(n?1)；（2）详见解析；（3）an??，a2?a1.
a,n?1?2【解析】
（1）由an?2n?1可得?an?为递增数列
?bn?max?a1,a2,???,an??min?a1,a2,???,an??an?a1?2n?1?3?2n?2
由通项公式可知?bn?为等差数列
??bn?的前n项和为：
2n?2?n?n?n?1? 2（2）Qmax?a1,a2,???,an??max?a1,a2,???,an?1??n?1,2,3,????
min?a1,a2,???,an??min?a1,a2,???,an?1??n?1,2,3,????
?max?a1,a2,???,an?1??min?a1,a2,???,an?1??max?a1,a2,???,an??min?a1,a2,???,an?
?bn?1?bn?n?1,2,3,????，又b1?a1?a1?0 ?max?b1,b2,???,bn??min?b1,b2,???,bn??bn?b1?bn ??bn?的“收缩数列”仍是?bn?
（3）由S1?S2?????Sn?当n?1时，a1?a1；
当n?2时，2a1?a2?3a1?b2，即b2?a2?a1，所以a2?a1；
当n?3时，3a1?2a2?a3?6a1?3b3，即3b3?2?a2?a1???a3?a1?（*）， 若a1?a3?a2，则b3?a2?a1，所以由（*）可得a3?a2，与a3?a2矛盾； 若a3?a1?a2，则b3?a2?a3，所以由（*）可得a3?a2?3?a1?a3? 所以a3?a2与a1?a3同号，这与a3?a1?a2矛盾； 若a3?a2，则b3?a3?a1，由（*）可得a3?a2. 猜想：满足S1?S2?????Sn?n?n?1?n?n?1?a1?bn?n?1,2,3,????可得： 22n?n?1?n?n?1?a1?bn?n?1,2,3,????的数列?an?是： 22?a1,n?1an??，a2?a1
?a2,n?1经验证，左式?S1?S2?????Sn?na1???1?2??????n?1???a2?na1?n?n?1?a2 2右式?n?n?1?n?n?1?n?n?1?n?n?1?n?n?1?a1?bn?a1?a2 ?a2?a1??na1?22222下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件 由上述n?3时的情况可知，n?3时，an???a1,n?1，a2?a1是成立的
a,n?1?2假设ak是首次不符合an???a1,n?1，a2?a1的项，则a1?a2?a3?????ak?1?ak
a,n?1?2k?k?1?k?k?1?k2?k?2由题设条件可得a2?a1?a1?bk（*）
222若a1?ak?a2，则由（*）式化简可得ak?a2与ak?a2矛盾； 若ak?a1?a2，则bk?a2?ak，所以由（*）可得ak?a2?所以ak?a2与a1?ak同号，这与ak?a1?a2矛盾；
所以ak?a2，则bk?ak?a1，所以由（*）化简可得ak?a2. 这与假设ak?a2矛盾.
k?k?1??a1?ak? 2?a1,n?1a?所以不存在数列不满足n?，a2?a1的?an?符合题设条件
?a2,n?1?a,n?1an??1?a2,n?1，a2?a1 综上所述：