发布时间 : 星期日 文章六年级奥数-第二讲[1].比和比例.教师版更新完毕开始阅读55230ae40622192e453610661ed9ad51f01d54a6
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米)，长方形的周长为20?24?44(厘米)．
【例 12】 甲乙两车分别从 A， B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速
度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？ 【解析】 甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4．8
54和。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的9948长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的4/9，所以乙行驶了全长的?5?6?，所以乙
9154844441一共行了全长?，还剩1-＝，没有走所以A、B全长为450千米. ?915454545＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的
【例 13】 师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，
师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？
11【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是:?5:3，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与
9155353徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了100?(?)?400个零件
5?35?35?35?3【巩固】 师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成
任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？
11【解析】 师傅与徒弟的工作效率之比是:?5:3，而工作时间相同，则工作量与工作效率成正比，所以师
9153?53?5傅与徒弟分别完成总量的和，师傅比徒弟多加工零件400?????100个．
5?35?35?35?3??【例 14】 A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的
11全部和B桶水的，或将B桶水的全部和A桶水的倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三
53个水桶容积各是多少公升？
112【解析】 根据题意可知，所以A桶水的等A桶水的全部加上B桶水的等于B桶水的全部加上A桶水的，
3534426617于B桶水的，那么A桶水的全部等于B桶水的??，C桶水为B桶水的??．所以A、
553555567B、C三个水桶的容积之比是:1:?6:5:7．又A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，所以
5565?480公升，B桶的容积是480??400公升，C桶的容积是A桶的容积是1440?6?5?767480??560公升．
612【巩固】 学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四
253年级学生的。这三个年级各有多少名学生学生？
7123【解析】 将六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的，看作一个单位，那么六年级学生
2577人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、
35712四年级学生人数的比为2：：?12：=180人，五年级15：14，所以六年级学生人数为615?2312?15?141514学生人数为615??225人，四年级学生人数为615??210人
12?15?1412?15?144【例 15】 一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去21厘米，长边截去35%以后，得到一块正方形铁板．问
5原来长方形铁板的长是多少厘米?
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【解析】 如果只将长边截去35%，宽、长之比为4:??5??1?35%????16:13，所以宽边的长度为
421?(16?13)?16?112厘米，所以原来铁板的长为112??140厘米．
5【巩固】 一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原正方
形面积相等．原正方形的边长是多少米?
4551【解析】 要保证面积不变，一边减少20%，即是原来的，另一边要变成原来的，即增加?1?，所以
54441原正方形的边长为2??8(米).
4【例 16】 一把小刀售价3元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是2:5；如果小强买
了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为8:13．小明原来有多少钱？
55【解析】 由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的?，小明的钱相当于小明、小强买
2?578885刀后钱数和的?，所以小明、小强的钱数的比值为:?8:15，而小明买刀后小明、小强
8+1321217的钱数之比为2:5?6:15，所以小明买刀前后的钱数之比为8:6?4:3，所以小刀的售价等于小明原
4?311来钱数的?，所以小明的钱数为3??12元。也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为
44428:?3:4，小明的钱数为4???3??4?3????12（元） 721【巩固】 甲、乙两人原有的钱数之比为6:5，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之
比为18:11，求原来两人的钱数之和为多少？ 【解析】 两人原有钱数之比为6:5，如果甲得到180元，乙得到150元，那么两人的钱数之比仍为6:5，现
在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少得到了120元，现在两人钱数之比为18:11，可以理解为：两人的钱数分别增加180元和150元之后，钱数之比为18:15，然后乙的钱数减少120元，两人的钱数之比变为18:11，所以120元相当于4份，1份为30元，后来两人的钱数之和为30?(18?15)?990元，所以原来两人的总钱数之和为990?180?150?660元．
【例 17】 一项机械加工作业，用4台A型机床，5天可以完成；用4台A型机床和2台B型机床3天可以完
成；用3台B型机床和9台C型机床，2天可以完成，若3种机床各取一台工作5天后，剩下A、C型机床继续工作，还需要______ 天可以完成作业． 【解析】 由于用4台A型机床5天可以完成；用4台A型机床和2台B型机床3天可以完成，所以2台B型
机床3天完成的量等于4台A型机床2天完成的量，则A、B两种机床每天完成的量的比为?2?3?:?4?2??3:4，即A型机床每天完成的量为3，B型机床每天完成的量为4，该项作业总量为
3?4?5?60，那么C型机床每天完成的量为?60?2?4?3??9?2，3种机床各取一台工作5天后，
剩下的工作量为60??3?4?2??5?15，A、C型机床还需继续工作15??3?2??3天．
【例 18】 动物园门票大人20元，小孩10元．六一儿童节那天，儿童免票，结果与前一天相比，大人增加了
60%，儿童增加了90%，共增加了2100人，但门票收入与前一天相同．六一儿童节这天共有多少人入园？ 【解析】 前一天大人与小孩的人数比为1:(60%?2)?5:6，六一那天增加的大人与增加的小孩人数比为
5?5?60%?:?6?90%??5:9， 大人增加的人数为2100??750人，小孩增加的人数为
142100?750?1350人，大人的总数为750?60%?750?2000人，小孩的总人数为1350?90%?1350?2850人，总人数为2000?2850?4850人．
【例 19】 某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是1:2，第一天售出苹果的20%，售出桃子的吨数与
所剩桃子的吨数的比是1:3；第二天售出苹果18吨，桃子12吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩
4桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？
15x?(1?20%)?184?，解得x?37．所以原有【解析】 法一：设原来苹果有x吨，则原来桃子有2x吨，得：
3152x??121?3苹果37吨，原有桃子37?2?74(吨)．
法二：原来苹果和桃子的吨数的比是1:2，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第第 6 页 共 11 页
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一天后剩下的苹果是1?(1?20%)?433，剩下的桃子是2??，所以此时剩下的苹果和桃子的重51?3243量比是:?8:15．现在再售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是4:15．这就
52832相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是8:15，先售出桃子12吨，苹果12??吨，此时
1553258剩下的苹果和桃子的重量比还是8:15，再售出18?吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为?5558581587吨，那么第一天后剩下的桃子4:15，所以这相当于8?4?4份，最后剩下的桃子有??5542871111113有?12?吨，原有桃子??74吨，原有苹果74?2?37吨． 2221?3（二）利用不变量统一份数
【例 20】 有一个长方体，长和宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．表面积为72cm2，求这个长方体的体积. 【解析】 由条件长方体的长、宽、高的比6:3:2，则长方体的所有视面，上面、前面、左面的面积比为
?6?3?:?6?2?:?3?2??18:12:6?3:2:1，这三个面的面积和等于长方体表面积的二分之一，所以，
1312长方体的上面的面积为72???18cm2，前面的面积为72???12cm2，左面的面
23?2?123?2?111积为720???6cm2，而18?12?6?1296?362，所以36即是长、宽、高的乘积，所以这个
23?2?1长方体的体积为36cm3．
【巩固】 有一个长方体，长与宽的比是2:1，宽与高的比是3:2．已知这个长方体的全部棱长之和是220厘米，求这个长方体的体积．
22【解析】 由条件宽与高的比为3:2?1:，所以这个长方体的长、宽、高的比为2:1:即6:3:2，由于长方体
3316的所有棱中，长、宽、高各有4条，所以长方体的长为220???30厘米，宽为
46?3?21312220???15厘米，高为220???10厘米，所以这个长方形的体积为
46?3?246?3?230?15?10?4500立方厘米.
【例 21】 （2009年第七届“希望杯”二试六年级）某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大型车30元，中型车15元，小型车10元．一天，通过该收费站的大型车和中型车数量之比是5:6，中型车与小型车之比是4:11，小型车的通行费总数比大型车多270元．（1）这天通过收费站的大型车、中型车、小型车各有多少辆？（2）这天的收费总数是多少元？ 【解析】 ⑴大型车、小型车通过的数量都是与中型车相比，如果能将5:6中的6与4:11中的4统一成
?4,6??12，就可以得到大型车、中型车、小型车的连比．由5:6?10:12和4:11?12:33，得到大型车:中型车:小型车?10:12:33．以10辆大型车、12辆中型车、33辆小型车为一组．因为每组中收取小型车的通行费比大型车多10?33?30?10?30(元)，所以这天通过的车辆共有270?30?9(组)．所以这天通过大型车有10?9?90(辆)，中型车有12?9?108(辆)，小型车有33?9?297(辆)．
（2）这天收取的总费用为：30?90?15?108?297?10?7290元．
【例 22】 6枚壹分硬币摞在一起与5枚贰分硬币摞在一起一样高，4枚壹分硬币摞在一起与3枚伍分硬币摞
在一起一样高．用壹分、贰分、伍分硬币各摞成一个圆柱体，并且三个圆柱体一样高，共用了124枚硬币，问：这些硬币的币值为多少元？
【解析】 由题目条件壹分硬币和贰分硬币的数量比为6:5，壹分硬币和伍分硬币的数量比为4:3?6:4.5，所
以壹分硬币、贰分硬币以及伍分硬币的数量比为6:5:4.5，即12:10:9，因此壹分硬币的数量为
1210124??48枚，贰分硬币的数量为124??40枚，伍分硬币的数量为
12?10?912?10?99124??36枚，这些硬币一共有48?1?40?2?36?5?308分，即币值为3.08元．
12?10?9【例 23】 某工地用3种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为
6:8:9，运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种
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车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到10天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了25天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
【解析】 由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为15∶14∶14，速度之比为6∶∶89，所以它们运送1次
1514145714249所需的时间之比为∶∶?∶∶，相同时间内它们运送的次数比为：∶∶．在前10天，
6892495714甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为5由于三种卡车载重量之比为10∶∶57．∶∶76，所以三种卡车的总载重量之比为50∶35∶42．那么三种卡车在前10天内的工作量之比为：
2??4??9??20∶27．在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的?50??∶?35??∶?42???20∶5714??????工作量之比为40∶20∶27．所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：
20?10?40?1532?．
(20?20?27)?10?(40?20?27)?1579【例 24】 将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友．原计划甲、乙、丙三人所得糖果数的比为5:4:3．实
际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋友比原计划多得了15块糖果．那么这位小朋友是 (填“甲”、“乙”或“丙”)，他实际所得的糖果数为 块．
543【解析】 方法一：原计划甲、乙、丙三人所得糖果数分别占总数的，，；实际甲、乙、丙三人所得
121212765糖果数分别占总数的，，，只有丙占总数的比例是增加的，所以这位小朋友是丙.糖果总数
1818185?53?为15?????540(块)，丙实际所得的糖果数为540??150(块)．
18?1812?方法二：化通比为： 甲 乙 丙 总数为 原计分配为 5 ： 4 : 3 12份 实际分配为 7 ： 6 ： 5 18份 化通比为 15 ： 12 ： 9 36份 14 ： 12 ： 10 36份
对比分析甲15——14，乙12——12，丙9——10，发现多得糖果的是丙
所以15÷（10—9）×10＝150（块）
15【巩固】 今年儿子的年龄是父亲年龄的，15年后，儿子的年龄是父亲年龄的．今年儿子多少岁？
41111【解析】 方法一：今年儿子的年龄相当于父子年龄差的?，15年后儿子的年龄相当于父子年龄差的
4?13555111?，所以15年相当于父子年龄差的??，年龄差为15??30岁.今年儿子30?3?10岁. 11?5663221方法二：今年儿子的年龄是父亲年龄的，所以儿子：父亲＝1：4；15年后，儿子的年龄是父亲年
45龄的，所以儿子：父亲＝5：11。因为在年龄问题中年龄差不变所以列表分析为：
11儿子 父亲 年龄差
1 ： 4 3 5 ： 11 6
根据不变量化通比为 2 ： 8 6 5 ： 11 6
对比分析为：15÷（5—2）×2＝10（岁）
【例 25】 一个周长是56厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形．在图⑴中小长
方形面积的比是A:B?1:2，B:C?1:2．而在图⑵中相应的比例是A':B'?1:3，B':C'?1:3.又知长方形D'的宽减去D的宽所得到的差与D'的长减去D的长所得到差之比为1:3．求大长方形的面积．
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