发布时间 : 星期二 文章11-第11讲 相似变换与对角化问题(窄)更新完毕开始阅读5555957201f69e3143329453
第十一讲 相似变换与对角化问题
教学目的：
1. 介绍相似变换：定义、性质、应用； 2. 介绍方阵的对角化问题： （1）概念、实施：“可对角化”的条件； （3）实对称阵正交相似于对角阵。 教学内容： § 6.2 矩阵的相似变换； § 6.3 实对称矩阵的对角化。 教案提纲：
? 引言：“可逆的矩阵变换”的一般概念：
——初等变换：只保规格和秩，不满足需要；
§ 6.2 矩阵的相似变换
一、相似变换： 1. 相似变换的概念： 一种较高级的初等变换：
定义6.2 设A、B为n阶方阵，若有同阶可逆阵P，满足
P?1AP?B （6.13）
则说A相似于B，又称B是A的相似矩阵，记作A～B。称上式为对A作相似变换，P为相似变换矩阵。
? 由定义式（6.13）可以推出AP?PB；反之，仅当P可逆时，才能由AP?PB倒推到定义式，所以两者并不等价。
???B 注意变换的“方向”：A????1PP
2. 相似变换的性质： （1）是初等变换的特例：
仍具等价性，保规格、保秩（定理6.5）；
定理 6.5 相似关系为等价关系，即满足等价公理： ⅰ）反身性：A～A；
ⅱ）对称性：A～B，则B～A：
ⅲ）传递性：A～B，B～C，则A～C。 理由很简单：P与P?1都是可逆阵。
因此，相似变换具有初等变换的一般性质：保规格、保秩。
（2）特有性质：保特征值（定理6.7），
因而也保行列式、保迹（推论）；
定理6.7 相似变换保持特征值不变，即若A～B，则A与B有相同的特征值。
证 设A～B，则存在可逆阵P，使P?1AP?B。由于
B??E?P?1AP??P?1P?P?1?A??E?P??P?1?A??E?P?A??E，
可见相似矩阵A与B有相同的特征多项式，因此它们有相同的特征值。◆
推论 若A～B，则有 A?B 和 tr(A)?tr(B)。 证 因为行列式是特征值之积，而迹是特征值之和。◆ ? 注意：反之不然。
（3）矩阵运算与相似关系（定理6.6） 定理 6.6 设A～B，变换阵为P，则：
（1）?k?R，kA～kB，变换阵仍为P；
（2）Ak～Bk（k为正整数），变换阵仍为P；
（3）若f?x?为一个多项式，则f?A?～f?B?，变换阵仍为P； （4）A?～B?，相似变换阵为P
????1；
（5）若A可逆，则B也可逆，且A?1～B?1，A*～B*，变换阵仍为P。 这个定理的证明只要运用定义即可，留给读者作为练习。
（让学生思考，见习题6.11）。
二、方阵的对角化与相似标准形： 1. “对角化”的概念： 特指用相似变换化为对角形； （定理6.8 → 定义6.3，“相似标准形”）； 定理6.8 若A与对角阵??diag??1,?,?n?相似，则对角元?1,?,?n就是
A的n个特征值。
??1????证 记 ??diag??1,?,?n????， （6.14） ??n???则由 ???E?diag??1??,?,?n???????ii???，
可知?1,?,?n就是?的所有特征值。由于A～?，故?1,?,?n也就是A的所有特征值。◆
? 反过来提出问题：如果求出A的特征值?1,?,?n，记
??diag??1,?,?n?，
问A是否能相似于对角阵?？
定义6.3 若存在可逆阵P，使P?1AP???diag??1,?,?n?，则说A是可对角化的，称?为A的相似标准形。
那么，任给一个方阵A，如何判断它是否可对角化呢？这个问题的关键在于：是否能找到所需的相似变换阵P？
2. 如果可对角化，则应如何实施？
——则如何寻找变换阵？
我们考察：如果A可对角化，则相似变换阵P应满足什么条件？
据定义6.3，P实际上是矩阵方程AP?P?的可逆解。如果能求出这个解并验证它可逆，则它就是所求的相似变换阵。为此将P按列分块，记作
P??p1?pn?， （6.15）
??1????由AP?P?可得 A?p1?pn???p1?pn???， （6.16） ??n???即 ?Ap1?Apn????1p1??npn?，
,i(?i1,?2,从而 Api??ip由此可知pi应是A的属于?i的特征向量。
n, ) （6.17）
由此可知：当A可对角化，即存在可逆的变换矩阵P时，A必有n个线
性无关的特征向量p1,p2,?,pn，即P的列向量；反之，若A有n个线性无关的特征向量p1,p2,?,pn时，由它们组成的可逆阵P一定能把A对角化。
3. 方阵可对角化的条件：条件，举例 （1）基本的充要条件：
定理6.9 n阶方阵A可对角化的充要条件是：A有n个线性无关的特征向量。
证 由上面的实施过程即可导出。 （2）一个推论（一个充分而非必要条件）：
推论 如果n阶方阵A有n个不同的特征值，则A必可对角化。 证 因为属于不同特征值的特征向量必线性无关。
（3）另一个充要条件：所有特征值的代数重数与几何重数全相等。 （不证，举例说明。）
4. 对角化的一个应用：
计算方阵的高次幂（例6.5）；
?12?3???例6.5 设A??0?11?，求A1000。
?000???解 直接计算显然不可能，我们利用对角化来计算。由于A是上三角阵，其
特征值就是主对角元1、－1、0，求得所属的特征向量分别为
?1???1??1???????p1??0?,p2??1?,p3??1?，
?0??0??1???????因三个特征值互不相同，则三个特征向量必线性无关，故A可对角化，相似变换
?1?11??11－2??????1阵为P??011?，其逆阵为P??01－1?。
?001??001?????据定理6.6（2）有P?1AkP??k，故Ak?P?kP?1，最终求得：
A1000?P?1000P?1?11000????11000?P?(?1)?P
?1000?0???1??10?1????1???P?1P?011???。
??000?0?????
? 不完全符合条件的有时可“将就”：
相似于分块对角阵（介绍Jordan标准形）、 广义相似、
某些特殊的矩阵（如实对称阵）；
§ 6.3 实对称阵的对角化
一、实对称阵的性质： 结论：必可找到一个正交变换将其对角化（未必唯一）。
若n阶实方阵A满足A?A，则称其为n阶实对称阵。 实对称阵有很好的性质：
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