发布时间 : 星期四 文章2019-2020年高考数学大题综合训练更新完毕开始阅读5575fa31f58a6529647d27284b73f242336c3199
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2019-2020年高考数学大题综合训练1
1．已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a2＋a8＝22，且a4，a7，a12成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
1113
(2)若Tn＝＋＋…＋，证明：Tn<.
S1S2Sn4(1)解 ∵数列{an}为等差数列，且a2＋a8＝22， 1
∴a5＝(a2＋a8)＝11.
2∵a4，a7，a12成等比数列， ∴a7＝a4·a12，
即(11＋2d)＝(11－d)·(11＋7d)， 又d≠0， ∴d＝2，
∴a1＝11－4×2＝3，
∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N)． (2)证明 由(1)得，Sn＝1∴＝*
2
2
n(a1＋an)
2
＝n(n＋2)，
Sn1?11?1
＝?－，
n(n＋2)2?nn＋2??
111∴Tn＝＋＋…＋
S1S2Sn1??11??11?1??
＝??1－?＋?－?＋?－?＋…＋
3??24??35?2??
?1－1?＋?1－1??
?n－1n＋1??nn＋2???????
111?1?－＝?1＋－
2n＋1n＋2?2??1?331?1
＋＝－?<.
42?n＋1n＋2??43∴Tn<. 4
2．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，
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BC＝2AD＝2，E为CD的中点，PB⊥AE.
(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；
π
(2)若PB＝PD，PC与平面ABCD所成的角为，求二面角B－PD－C的余弦值．
4(1)证明 由ABCD是直角梯形，
AB＝3，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，BD＝2，
从而△BCD是等边三角形， π
∠BCD＝，BD平分∠ADC，
3∵E为CD的中点，DE＝AD＝1， ∴BD⊥AE.
又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B， 又PB，BD?平面PBD， ∴AE⊥平面PBD. ∵AE?平面ABCD， ∴平面PBD⊥平面ABCD.
(2)解 方法一 作PO⊥BD于点O，连接OC，
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∵平面PBD⊥平面ABCD， 平面PBD∩平面ABCD＝BD，
PO?平面PBD，
∴PO⊥平面ABCD，
π
∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，
4又∵PB＝PD，
∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝3，
以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则B(1,0,0)，C(0，3，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，3)，
PC＝(0，3，－3)，PD＝(－1,0，－3)．
设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， →?PC＝0，?n·由?
→?PD＝0，?n·
→→
?3y－3z＝0，
得? ?－x－3z＝0，
令z＝1，则x＝－3，y＝1，得n＝(－3，1,1)． 又平面PBD的一个法向量为m＝(0,1,0)， 设二面角B－PD－C的平面角为θ， |n·m|15
则|cos θ|＝＝＝，
|n||m|5×15由图可知θ为锐角，
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∴所求二面角B－PD－C的余弦值是
5. 5
方法二 作PO⊥BD于点O，连接OC，
∵平面PBD⊥平面ABCD， 平面PBD∩平面ABCD＝BD，
PO?平面PBD，
∴PO⊥平面ABCD，
π
∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，
4又∵PB＝PD，
∴O为BD的中点，OC⊥BD，OP＝OC＝3， 作OH⊥PD于点H，连接CH， 则PD⊥平面CHO，
又HC?平面CHO，则PD⊥HC，
则∠CHO为所求二面角B－PD－C的平面角． 由OP＝3，得OH＝
15， 2
323， 2
∴CH＝
∴cos∠CHO＝OH5＝＝. CH155
2
3．某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干A水果，然后以15元/千
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