发布时间 : 星期四 文章广东省东莞市2017届高三上学期期末教学质量检查数学理试题 Word版含答案更新完毕开始阅读559bc1f5aff8941ea76e58fafab069dc502247f8
设AD?2a，则A(0,0,0),C(2,0,0),E(22,0,) 22F(22,?a,) 22由AD?面ACE知平面ACE的一个法向量n?(0,1,0) ………………7分
设平面ACF的一个法向量m?(x,y,z)，因为AC?(2,0,0),AF?(22,?a,) 22?2x?011???2z?2,y??m?(0,?,2) …………8分 ，取，则2aax?ay?z?0?2?2则cos?m,n??m?n|m||n|??1a1a2??12a?12， ………………9分
2?因为二面角E?AC?F的余弦值为
3 3所以
12a2?1?3，即a?1 …………10分 3所以m?(0,?1,2),AD?(0,2,0) 设点D到平面ACF的距离为d，则d?|AD?m||m|?223? …………11分
33所以点D到平面ACF的距离
23 ……………………12分 33?50 …………1分
0.006?10
20. 解：(1)由题意可知，样本容量n?x?5?0.01 …………2分
50?101?(0.04?0.06?2?0.1?2?0.2?0.3)y??0.014 …………3分
10(2)成绩能被重点大学录取的人数为50?(0.014?0.01?0.006)?15人， 抽取的50人中成绩能被重点大学录取的频率是
153?,故从该校高三年级学生中任取1人的概率为50103 …………4分 10记该校高三年级学生中任取3人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E；
33657则P(E)?1?(1?)? …………5分
101000(3)成绩能被重点大学录取的人数为15人，成绩能被专科学校录取的人数为50?(0.004?0.006)?2?7人, …………6分
故随机变量?的所有可能取值为0,1,2,3 …………7分
32112C7C7C159C7C15211P(??1)??P(??2)??，所以，P(??0)?3?，，33C2244C2244C224403C7C13P(??3)?315? …………9分
C2244故随机变量?的分布列为
? P 0 1 2 3 1 449 4421 4413 44 …………11分 随机变量?的数学期望
E(?)?0?19211345?1??2??3?? …………12分 444444442221.解：(Ⅰ) f(x)定义域为(0,1)?(1,??)
b(x?1)?(a?blnx)xf'(x)? …………1分
(x?1)2b1?f'(2)??a?bln2???ln2??22?? …………2分
a?bln41?2ln2?f(4)???33?b1??a?1?a?bln2???ln2?? ?? …………3分 22?b?1??a?2bln2?1?2ln211(x?1)?(1?lnx)??lnx?f'(x)?x?x 2(x?1)(x?1)21111?x记h(x)???lnx，则h'(x)?2??2
xxxxh(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减
h(x)?h(1)??1?0 …………4分
1??lnx?f'(x)?x?0恒成立 2(x?1)?f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递减 …………5分 (Ⅱ)由题得，原问题转化为f(x)?g(x)在x?(0,1)上恒成立，
f(x)?g(x)在x?(1,??)上恒成立 …………6分
1即?(x)?1?lnx?(1?)k?0在x?(0,1)?(1,??)上恒成立 …………7分
x1kx?k?'(x)??2?2
xxx??(x)在(0,1)，(1,k)上单调递减，(k,??)上单调递增 …………8分 当x?(0,1)时，?(x)??(1)?1?0 …………9分 当x?(1,??)时，?(x)??(k)?lnk?k?2
?lnk?k?2?0 …………10分
11?k?0恒成立 记?(k)?lnk?k?2，则?'(k)??1?kk?(k)在k?[1,??)上是减函数 …………11分 ?(3)?ln3?1?0,?(4)?ln4?2?0
?k的最大值为3. …………12分
??x?2?5cos?22. (Ⅰ)∵曲线C的参数方程为? (?为参数)
??y?1?5sin?∴曲线C的普通方程为?x?2???y?1??5 …………2分
22将??x??cos? 代入并化简得：??4cos??2sin?
?y??sin?即曲线C的极坐标方程为??4cos??2sin?. …………5分 （Ⅱ）解法一：在极坐标系中，C：??4cos??2sin?
?????∴由?得到OA?23?1 …………7分 6????4cos??2sin?同理OB?2?3. ………… 9分 又∵?AOB??6
∴S?AOB?18?53. OA?OBsin?AOB?248?53. …………10分 4即?AOB的面积为
解法二：：在平面直角坐标系中，
C：?x?2???y?1??5 l1：y?223x，l2：y?3x 3?3?6?323?1??y?x?? …………6分 ∴由?得A,3?2??2???x?2?2??y?1?2?5?∴OA?23?1 …………7分 同理B??2?323?3?? …………8分
?2,2???∴OA?23?1，OB?2?3 …………9分 又∵?AOB??6
∴S?AOB?18?53 OA?OBsin?AOB?248?53. …………10分 即?AOB的面积为
4?23.（1）f(x)?|x?1|?|x?3|???2x?2,x??3?4,?3?x?1， ??2x?2,x?1当x??3时，由?2x?2?8，解得x??5； 当?3?x?1时，f(x)?4，?f(x)?8无解； 当x?1时，由2x?2?8，解得?x?3． ? 所以不等式f(x)?8的解集为xx??5或x?3． （2）因为f(x)?x?1?x?3??(x?1)?(x?3)?4，所以f?x?min?4 又不等式f(x)?a2?3a的解集不是空集，
所以a2?3a?4, 所以aa?4或a??1
即实数的取值范围是(??,?1)?(4,??) ………………１分………………２分 ………………３分 ………………４分 ………………５分
………………７分
………………９分 ………………１０分