发布时间 : 星期六 文章高中数学求解最值问题的一些方法毕业设计更新完毕开始阅读55e517a7162ded630b1c59eef8c75fbfc77d943e
当x??0,3?时，g??x??0，故g?x?在?0,3?上单调递增； 当x??3,???时，g??x??0，故g?x?在?3,???上单调递减。
从而g?x?在x1?0处有极小值g?0???3在x2?3处有极大值g?3??15e?3. 注 此类型题一般出现在高考题中的第21题，其中有的题型是直接求解最(极)值，有的是以函数的单调性作为媒介求系数的取值变化。在高考题中，还有利用函数的单调性求实际生产应用中的利润问题。例如已知某商场每日销售商品的销售量与销售价格之间的关系式，求商品每日所获得的最大利润。但是此类型题在最近几年的高考题中很少出现。
小结 运用函数单调性求常见最值问题?2?：
(1)、利用函数单调性求对勾函数[形如f?x??ax?注：对勾函数的极值规律： 1当a?0,b?0时，函数在y?○
极大值y??2ab；
2当a?0,b?0时，函数在y??○
极大值y??2ab；
3当ab?0时，函数没有极值。 ○
(2)、利用单调性求抽象函数的最值。 (3)、利用单调性求复合函数的最值。
b其中ab?0?型]的最值。 ?xbb处取得极小值y?2ab，在y??处取得aabb处取得极小值y?2ab，在y?处取得aa
四 利用简单线性规划求解最值问题
简单线性规划的基本思想即在一定的约束条件下，通过数形结合求函数的最值。解决问题时主要是借助平面图形，运用这一思想能够比较有效地解决一些二元函数的最值问题。
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??x?4?0,?例5 已知点p?x,y?在不等式组?y?3?0,表示的平面区域上运动，
?4?x?y?4?03?求z?x?y的取值范围。
解 由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z?x?y，把它变形为y?x?z，这是斜率为1且随z变化的一组平行直线，?z是直线在y轴上的截距。当直线满足约束条件且经过点?4,0?时，目标函数z?x?y取得最大值为4；直线经过点?0,3?时，目标函数z?x?y取得最小值为-3.故z?x?y的取值范围为??3,4?.
y4y-3=0（4，3）x-4=0x+4/3y-4=0xO12图 1345321
注 本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为?0,3?,?4,3?,?4,0?，然后再一一代入目标函数求出z?x?y的取值范围为??3,4?更为简单。
小结 简单线性规划是高中数学教学内容之一，解决一些在线性约束条件下的线
性目标函数的最值（最大值或最小值）问题 。 运用简单线性规划求常见最值问题： (1)、与直线的截距有关的最值问题； (2)、与直线的斜率有关的最值问题； (3)、与距离有关的最值问题； (4)、与实际应用有关的最值问题。
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五 利用二次函数求解最值问题
定义 一般地，如果y?ax2?bx?c?a,b,c是常数,a?0?，那么y叫做x的二次函数。其表达式有：
(1)、一般式：y?ax2?bx?c?a,b,c是常数,a?0?； (2)、顶点式：y?a?x?h??k?a,h,k为常数,a?0?；
2(3)、交点式：y?a?x?x1??x?x2??a?0,x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标?。 二次函数y?ax2?bx?c?a,b,c是常数,a?0?的性质：当a?0时，抛物线开口向上，a值越大，开口越小，反之a值越小，开口越大；当a?0时，抛物线开口向下，a值越小，开口越小，反之a值越大，开口越大。 几种特殊的二次函数的图像特征如下: 函数解析式 开口方向 当a?0时开口向上 对称轴 顶点坐标 y?ax2 x?0?y轴? ?0,0? y?ax2?k 当a?0时开口向上 x?0?y轴? x?h ?0,k? ?h,0? ?h,k? ?b4ac?b2???,? 2a4a??y?a?x?h? 2当a?0时开口向下 y?a?x?h??k 2当a?0时开口向下 x?h y?ax2?bx?c 当a?0时开口向下 x??b 2a例6 已知方程2x2?2mx?m2?2m?6?0?m?R?有实根x1,x2,其中?6?m?2,设
2，求f?m?的最大值和最小值。 f?m??x12?x1x2?x2解
2??x1?x2??x1x2，得 由f?m??x12?x1x2?x22第 7 页 （共 12 页）
2?2m?m?2m?6 f?m???? ??2?2?2 f?m??12152m?2m?6?m?1? ????2225152因为?6?m?2所以?7?m?1?1 ??m?1???27
22255即?f?m??27， 所以f?m?的最大值和最小值分别为27和. 22小结 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函
数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。并且二次函数解析式的三种形式可以互化。
b?b2?4ac?2对于y?ax?bx?c?a?x????a?0?，如果x没有给出约束条件时，
a4a??则就有：
b4ac?b21若a?0，则当x??时，y取得最小值，即ymin?； ○2a4ab4ac?b22若a?0，则当x??时，y取得最大值，即ymax?. ○2a4a2但有时候，题目会约束自变量x的条件，不易直接求出函数值y的取值范围。 利用二次函数求常见最值问题：
（1）、利用二次函数求面积最大（小）值问题； （2）、利用二次函数求几何图形中的最值问题； （3）、应用二次函数求实际问题的最值。
六 利用参数法求解最值问题
定义 参数法指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，在进行分析与综合，从而解决问题。
x2例7 在直角坐标系xoy中，直线l方程为x?y?4?0，曲线C的方程为?y2?1，
3设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值。
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