发布时间 : 星期三 文章CUMCM历年赛题1993-1999更新完毕开始阅读565df153ad02de80d4d8401f
附录：
1993年全国大学生数学模型竞赛试题
（1993年10月15日--17日）
A题 非线性交调的频率设计
如果一非线性器件输入u(t)gn 与输出y(t)的关系是 y(t)=u(t)+u2(t)(其中t是时间)，那么当输入是包含频率的信号时，输出 中不公是包含输入信号，而且还会出现等新的频率成分，这些新的频率称为交调，如果交调出现在原有频率的附近，就会形成噪声干扰，因此工程设计中对交调的出现有一定的要求。
现有一SCS（非线性）系统，其输入输出关系由如下一组数据给出 输入U 0 5 10 20 30 40 50 60 80
输出Y 0 2.25 6.80 20.15 35.70 56.40 75.10 87.85 98.50 输入信号为u(t)=A1cos2πf1t+A2cos2πf2t+A3cos2πf3t， 其中A1=25,A2是输入信号振幅的频率f1,f2,f3的设计要求为:
1)36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f3≤53.
2)输出中的交调均不得出现在fi±5的范围内(i=1,2,3),此范围称为fi的接收带。
3)定义输出中的信噪比SNR=10log10(Bi2(单位:分),其中是Bi输出中对应于频率为fn 信号的振幅,Cn是某一频率为的交调的振幅,若fn出现在fn=fi±6处(i=1,2,3),则对应的SNR应大于10分贝。
4）fi不得出现在fi的接带内（i,j=1,2,3,ij)
5)为简单起见，fi只取整数值，交调只考虑2阶类型（即{fi±fj±fk},i,j,k=1,2,3），试按上述要求设计输入信号频率f1,f2,f3. 本题由北京大学谢衷洁提供。
B题 足球队排名次
下表给出了我国12支足球队在1988-1989年全国足球级联赛中的成绩，要求 1）设计一个依据这些成绩排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的结果。 2）把算法推广到任意N个队的情况。
3）讨论：数据应具备什么样的条件，用你的方法才能够排出诸队的名次。 对下表的说明：
1）12支球队依次记作T1,T2,??，T12. 2）符号X表示两队未曾比赛。
3）数字表示两队比赛结果，如T3行与Y8列交叉处的数字表示：T3与T8比赛了2场；T3与T8的进球之比为0：1和3：1。 本题由清华大学蔡大用提供。
1993年全国大学生数学模型竞赛总结及部分优秀论文可参阅“数学的认识与实践”1994年 第2期，71-96。 T1 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 X 0:1 2:2 2:0 3:1 1:0 0:1 0:2 1:0 1:1 X X 1:0 1:0 3:1 1:3 2:1 4:0 1:1 0:0 0:2 1:0 T2 2:0 0:0 1:1 2:1 1:1 0:0 2:0 0:2 X 0:1 2:0 1:1 0:0 1:1 0:0 X X 1:3 0:0 4:2 2:1 3:0 1:0 0:1 1:0 0:1 T3 X 1:1 1:4 3:1 2:3 2:0 X X 0:0 T4 T5 2:3 0:1 0:5 2:1 0:1 0:1 X 2:3 1:3 0:0 1:1 X X 0:1 1:0 0:1 X X X X X 1:2 1:1 T6 X X X X X X X T7 T8 T9 T10 T11 T12
1994年全国大学生数学建模竞赛题
A题 逢山开路
要在一山区修建公路, 首先测得一些地点的高程, 数据见表1(平面区域0 ≤x≤5600,0≤y≤4800,表中数据为坐标点的高程, 单位:米).数据显示: 在 y=3200 处有一东西走向的山峰; 从坐标 (2400,2400) 到 (4800,0) 有一西北 --- 东南走向的山谷; 在 (2000,2800) 附近有一山口湖, 其最高水位略高于 1350 米, 雨季在山谷中形成一溪流. 经调查知, 雨量最大时溪流水面宽度 w 与(溪流最深处) 的 x 坐标的关系可近似表示为 w(x)=((x-2400 3/4 )/2 ) + 5 (2400≤x≤4000). 公路从山脚 (0,800) 处开始, 经居民
1:0 2:1 3:1 3:1 2:0 X 2:0 3:0 3:0 0:0 1:0 2:2 0:1 1:1 3:1 0:0 X 1:2 1:0 2:0 0:1 3:0 1:0 1:0 X 1:0 0:0 1:0 2:0 X 1:1 X 1:2 1:1 X 点 (4000,2000) 至矿区 (2000,4000). 已知路段工程成本及对路段坡度α (上升高程与水平距离之比) 的限制如表 2.
1) 试给出一种线路设计方案, 包括原理、方法及比较精确的线路位置(含桥梁、隧道 ), 并估算该方案的总成本.
2) 如果居民点改为3600≤x≤4000, 2000≤y≤2400的居民区, 公路只须经过居民区即可, 那么你的方案有什么改变. 表一 ↑ 北
_____________________________________________________________________________ 4800┃1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 15 4400┃1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 21 4000┃1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 35 3600┃1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 50
3200┃1430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 155 2800┃ 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 120 2400┃ 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 110 2000┃ 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 95 1600┃ 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 75 1200┃ 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 55 800┃ 650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 35 400┃ 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 32
0┃ 730 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 25 ________________________________________________________________________
y/x┃ 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 4400 4800 5200 560
B 题 锁具装箱
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5, 6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一批. 出来的所有互不相同的锁具称为一批. 从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中\一把钥匙开一把锁\但是在当前工 艺条件下, 对于同一批中两个锁具是否能够互开, 有以下试验结果: 若二者相对应的 5个 槽的高度中
有 4个相同, 另一个的高度差为 1, 则可能互开; 在其它情形下, 不可能互开. 原来, 销售部门在一批锁具中随意地取每 60个装一箱出售. 团体顾客往往购买 几箱到几十箱, 他们抱怨购得的锁具会出现互相开的情形. 现聘聘请你为顾问, 回答并解 决以下问题:
1) 每一批锁具有多少个, 装多少箱.
2) 为销售部门提供一种方案, 包括如何装箱(仍是60个锁具一箱),如何给箱子以标志, 出售时如何利用这些标志, 使团体顾客不再或减少抱怨.
3) 采取你提出的方案, 团体顾客的购买量不超过多少箱, 就可以保证一定不会出现互开。
4) 按照原来的装箱办法, 如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度 (试对购买一、二 箱者给出具体结果).
1995年全国大学生数学建模竞赛
a题 一个飞行管理模型
在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下:
1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里; 2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度; 3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里;
4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在60公里以上; 5) 最多需考虑6架飞机;
6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算 (方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据为: 飞机编号 横座标x 纵座标y 方向角(度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52
注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
b题 天车与冶炼炉的作业调度
某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是，地面沿一直线依次安置着7个工作点辅料供应处p ；a组3座转炉(冶炼成品钢)a1, a2, a3；b组2座冶炼炉(冶炼半成品钢，简称半钢)b1, b2；原料供应处q。这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道，上面布置着若干天车t1，t2，...，tn炉了作业服务。布局示意如下。
|---------t1----t2----------------------------tn--------------|
p a1 a2 a3 b1 b2 q
天车与冶炼炉的作业过程与工序为：天车从q处吊起原料一罐（吊罐时间ty）运至b1或b2处放下（放罐时间ti），并将上一炉的原料空罐吊起（吊空时间to）返回q处放下（放空罐时间tk）。b组炉的原料罐放下后即可在辅助作业下开始冶炼（冶炼时间tb），由天车吊起半钢罐(吊罐时间td）运至a1或a2、a3处将半钢倒入转炉（倒入时间te），并将空罐返回b1或b2处放下（放空罐时间tc）。再由天车从p处吊起辅料一槽（吊起时间tg）运至a1或a2、a3处加入转炉（加入时间tf），并将空槽返回p处放下（放空槽时间th）。a组炉在半钢和辅料加入后即可开始冶炼（冶炼时间ta），冶炼后成品钢人输出不用天车（输出时间记人ta）。天车通过相邻两个工作点人运行时间都相同，记为tx。由于各台天车在同