发布时间 : 星期六 文章高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题二 第3讲平面向量更新完毕开始阅读567950d603020740be1e650e52ea551811a6c963
第3讲 平面向量
【高考考情解读】 从近几年高考来看,平面向量有以下几个考查特点:1.向量的加法,主要考查运算法则、几何意义;平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容,主要考查运算能力和灵活运用知识的能力;试题常以填空题形式出现,难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合,以解答题形式呈现,难度中等.
1. 平面向量中的五个基本概念
(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0. a
(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,a的单位向量为.
|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).
(4)如果直线l的斜率为k,则a=(1,k)是直线l的一个方向向量. (5)向量的投影:|b|cos〈a,b〉叫做向量b在向量a方向上的投影. 2. 平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底. 3. 平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则: (1)a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 4. 平面向量的三个性质
(1)若a=(x,y),则|a|=a·a=x2+y2.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB→
|=?x2-x1?2+?y2-y1?2.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角, 则cos θ=a·b
x1x2+y1y2|a||b|=x21+y21x22+y2. 2
考点一 平面向量的概念及线性运算
例
1 (1)(2013·江苏)设D,E分别是△ABC
12→→→
的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+
23λ2的值为________.
→→→→→→
(2)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,OA+AB+AC=0且|OA|=|AB|,则向量CA在→
CB上的投影为________. 1
答案 (1) (2)3
2
→→→1→2→1→2→→
解析 (1)如图,DE=DB+BE=AB+BC=AB+(AC-AB)
23231→2→121
=-AB+AC,则λ1=-,λ2=,λ1+λ2=.
63632→→→
(2)由OA+AB+AC=0, →→→得AB+AC=AO.
又O为△ABC外接圆的圆心,OB=OC, ∴四边形ABOC为菱形,AO⊥BC. →→
由|OA|=|AB|=2, 知△AOC为等边三角形.
π→→→
故CA在CB上的投影为|CA|cos∠ACB=2cos =3.
6
(1)在一般向量的线性运算中,只要把其
中的向量当作字母,其运算就类似于代数中合并同类项的运算;有的问题采用坐标化解决更简单.
(2)运用向量加减法解决几何问题时,要善于发现或构造三角形或平行四边形,使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”.运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合.
→→ (1)已知△ABC和点M满足MA+MB+
→→→→
MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m的值为________. →→→→→
(2)如图,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120°, →→→→→→→→OA与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为________. 答案 (1)3 (2)6