发布时间 : 星期六 文章立体几何中的折叠问题含解析更新完毕开始阅读56f9771cf424ccbff121dd36a32d7375a517c6ca
所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为方法二:过点A作AH?EF于H,
81281. 427由(Ⅰ)知PF?平面ABED,而AH?平面ABED 所以PF?AH,又所以AH?平面PEF,
所以?APH为直线AP与平面PEF所成的角. 在Rt?APF中,
在?AEF中,由等面积公式得
,EF?平面PEF,PF?平面PEF,
48 61
在Rt?APH中,
所以直线AP与平面PEF所成角的正弦值为【点评】折叠问题分析求解两原则：
81281. 427(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；
(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变. 【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】如图点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足且有平面
平面BCED．
，如图
，已知，将
是边长为6的等边三角形，沿DE折成四棱锥
，
求证：记
平面BCED；
的余弦值．
的中点为M，求二面角
(二) 几何体的展开
几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试. 1.展开后形状的判断
【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（ ）
解析：这是图③模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体C的展形图,故选（C）.
【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、 “你”、 “前”分别表示正方体的______________________.
2.展开后的数字特征——表面上的最短距离问题 【例6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为
2,高为2,AB，CD分别是两底面的直径,AD，BC是母线．若?一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,求小虫爬行的最短路线的长度．
【解析】如图,将圆柱的侧面展开,
其中AB为底面周长的一半,即则小虫爬行的最短路线为线段AC. 在矩形ABCD中,
所以小虫爬行的最短路线长度为22. ,AD?2.
.
【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面
内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值. 【小试牛刀】如图,在长方体中,
,求沿着长方体表面从A到C1的最短路线长.
四、迁移运用
1．【浙江省2019年高考模拟训练】已知四边形翻折成三棱锥设二面角A．
B．
，
的过程中，直线
与平面
中，
，
，在将与平面
沿着所成的角，
所成角的角均小于直线，则（ ）
的大小关系无法确定
的大小分别为
C．存在
D．
【答案】B
【解析】如图，在三棱锥则
分别为
中，作与平面
平面
于，连
，
所成的角．
∵直线∴过作则有∴∴在由∴
与平面．
所成角的角均小于直线与平面所成的角，
，垂足分别为， 分别为二面角
．
中，
，
，连，
的平面角，
，设BD的中点为O，则为边上的中线，
可得点H在CO的左侧（如图所示）， ．
又∴又∴
．
为锐角， ．
，
故选B．
2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的中线AD为折痕，将
?ABD与?ACD折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD?平面ACD；②?ABC为等
边三角形；③平面ADC?平面ABC；④点D在平面ABC内的射影为?ABC的外接圆圆心.其中正确的有（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C
【解析】由于三角形ABC为等腰直角三角形,故
,所以BD?平面ACD,故①正
确,排除B选项.由于AD?BD,且平面ABD?平面ACD,故AD?平面BCD,所以AD?CD,由此可知
,三角形为等比三角形,故②正确,排除D选项.由于
,且
?ABC为等边三角形,故点D在平面ABC内的射影为?ABC的外接圆圆心, ④正确,故选C.
3.已知梯形折叠,使得平面
平面
如下图所示,其中
平面
,,为线段的中点,四边形为正方形,现沿进行
,得到如图所示的几何体.已知当点满足时,平面
,则的值为（ ）
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为四边形
为正方形,且平面
平面
,所以两两垂直,且,所以建