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高中数学基础知识要点解析
第一章 集合与简易逻辑
1．集合中元素具有确定性、无序性、互异性． 2．集合的性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A?A； ②空集是任何集合的子集，记为??A； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果A?B，同时B?A，那么A = B． 如果A?B，B?C，那么A?C． [注意]：
①Z= {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集．（×）（例：S=N； A=N?，则CsA= {0}）
③ 空集的补集是全集．
④若集合A=集合B，则CBA = ?， CAB = ? CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ?）． 3．①{（x，y）|xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集．
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R
?二、四象限的点集．
?x?y?3 解的集合{(2，1)}．
2x?3y?1?③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集． [注]：①对方程组解的集合应是点集．例： ?②点集与数集的交集是?．（例：A ={(x，y)| y =x+1} B={y|y =x2+1} 则A∩B =?） 4．①n个元素的子集有2n个．
②n个元素的真子集有2n －1个． ③n个元素的非空真子集有2n－2个．
5．（1）①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真．否命题?逆命题．
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真．原命题?逆否命题． 例：①若a?b?5，则a?2或b?3应是真命题．
解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真．
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②x?1且y?2， x?y?3． 解：逆否：x + y =3
x = 1或y = 2．?x?1且y?2x?y?3,
故x?y?3是x?1且y?2的既不是充分，又不是必要条件．
（2）小范围推出大范围；大范围推不出小范围．例：若x?5，?x?5或x?2． 6．集合的运算．
A（BA（BC）（?AC）（?A（A?B）?C?A?（B?C）B）（AC）
（AB）C?A（BC）B）（AC）A（AB）?A，A（AB）?A
De Morgan公式 CuA∩ CuB = Cu（A∪ B） CuA∪ CuB = Cu（A∩ B） 7．容斥原理：对任意集合AB有A?B?A?B?A?B．
A?B?C?A?B?C?(A?B?A?C?B?C)?A?B?C．
第二章 函数
1．函数的三要素：定义域，值域，对应法则．
2．函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分．对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数． （0，1）?（1，2）2??yy?x3．反函数定义：只有满足x??，函数才有反函数．例：无反函数．函y?f(x)唯一数y?f(x)的反函数记为x?f它的反函数y?f?1?1习惯上记为y?f(y)，
?1在同一坐标系，函数y?f(x)与(x)．
(x)的图象关于y?x对称．
[注]：一般地，f?1(x?3)?f(x?3)的反函数．f?1(x?3)是先f(x)的反函数，在左移三个单位．f(x?3)是先左移三个单位，在f(x)的反函数．
4．（1）单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的．因此，所有偶函数不存在反函数．
（2）如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数．
（3）设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y．如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数y?f?1(x)在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同．
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（4）一般地，如果函数y?f(x)有反函数，且f(a)?b，那么f?1(b)?a．这就是说点（a,b）在函数y?f(x)图象上，那么点（b,a）在函数y?f?1(x)的图象上．
y=ax0＜a＜1▲5．指数函数：y?ax（a?0,a?1），定义域R，值域为（0,??）．
（1）①当a?1，指数函数：y?ax在定义域上为增函数；
yy=axa＞11xO②当0?a?1，指数函数：y?ax在定义域上为减函数．
（2）当a?1时，y?ax的a值越大，越靠近y轴；当0?a?1时，则相反．
6．对数函数：如果a（a?0,a?1）的b次幂等于N，就是ab?N，数b就叫做以a为底的N的对数，记作logaN?b（a?0,a?1，负数和零没有对数）；其中a叫底数，N叫真数．
（1）对数运算：
M?logaM?logaNN112)logaMn?nloga??M?loganM?logaMnlogbNalogaN?N换底公式：logaN?
logbaloga(M?N)?logaM?logaN(1)loga推论：logab?logbc?logca?1?loga1a2?loga2a3?...?logan?1an?loga1an（以上M?0,N?0,a?0,a?1,b?0,b?1,c?0,c?1,a1,a2...an?0,且?1） 注意1：当a,b?0时，log(a?b)?log(?a)?log(?b)．
注意2：当M?0时，取“+”，当n是偶数时且M?0时，Mn?0，而M?0，故取
“—”．例如：logax2?2logax?(2logax中x＞0而logax2中x∈R）．
（2）y?ax（a?0,a?1）与y?logax互为反函数．
当a?1时，y?logax的a值越大，越靠近x轴；当0?a?1时，则相反．
7．奇函数，偶函数：
（1）偶函数：f(?x)?f(x)
设（a,b）为偶函数上一点，则（?a,b）也是图象上一点． 偶函数的判定：两个条件同时满足
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①定义域一定要关于y轴对称，例如：y?x2?1在[1,?1)上不是偶函数． ②满足f(?x)?f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，（2）奇函数：f(?x)??f(x)
设（a,b）为奇函数上一点，则（?a,?b）也是图象上一点． 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：y?x3在[1,?1)上不是奇函数． ②满足f(?x)??f(x)，或f(?x)?f(x)?0，若f(x)?0时，
y轴对称???y?f（?x）8．对称变换：①y = f（x）??
f(x)?1． f(?x)f(x)??1． f(?x)x轴对称???y??f（x）②y =f（x）??
????y??f（?x）③y =f（x）?原点对称
9．判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
222f(x1)?f(x2)?x2?b?x?b?12（x1?x2）(x1?x2)x?b?x?b2x2212 再进行讨论．
10．外层函数的定义域是内层函数的值域．
例如：已知函数f（x）= 1+
x的定义域为A，函数f[f（x）]的定义域是B，则集合A1?x与集合B之间的关系是 ．
解：f(x)的值域是f(f(x))的定义域B，f(x)的值域?R，故B?R，而A??x|x?1?，故B?A． 11．常用变换：
①f(x?y)?f(x)f(y)?f(x?y)?证：f(x?y)?f(x)． f(y)f(y)?f(x)?f[(x?y)?y]?f(x?y)f(y) f(x)x②f()?f(x)?f(y)?f(x?y)?f(x)?f(y)
yxx证：f(x)?f(?y)?f()?f(y)
yy12．（1）熟悉常用函数图象：
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