发布时间 : 星期六 文章2010年我校参加全国大学生数学建模竞赛获全国二等奖论文A题更新完毕开始阅读57498a8571fe910ef12df82c
V???Rdy???114y0210y01.5?R1?h1?ytan?R12??z?1.5?dzdy?V31
2同理，圆柱体的体积也和前面的一样，即：V42＝V32。因为右端油面过了右端顶点，求其体积的时候要和左端求体积的方法一样，也是分为两部分讨论，只是这时右端和左端的球冠的方程不一样，被积函数也不一样，利用三重积分，建立的表达式如下：
V4??2?83y1h1?ytan?1.5?R2R??y?7.35???z?1.5?dzdy???R22dy
2y1229所以储油罐内的油量的总体积为：V4?V41?V42?V43
(5)当油面高于圆柱左端面低于油位探针的颈口时，此时：3?h1?3?2tan? 储油量的体积我们分为四部分讨论。首先，由于此时左端油面已经高过左端口，其体积即为球冠的体积，利用三重积分建立的表达式为：
V51???R12dy????R2??0.625?y??dy
??1?1?由于油面过了左端球冠最高点，还没有到油位探针的位置，所以在求圆柱体的体积时，分为两部分讨论，一部分为左端最高点到油面的最高点，这部分的体积就为圆柱体的体积了，即：
V52???1.52?y1
002另一部分为圆柱体从油面最高点到右端球冠部分的圆柱体的体积，这部分和前面的一样，建立的表达式为：
V5??2?y13Lh1?ytan?01.52??z?1.5?dzdy
92最后右端球冠的体积和前面的方法一样，建立的表达式为：
V5??2?84y1h1?ytan?1.5?R22R??y?7.35???z?1.5?dzdy????R2??y?7.35??dy??y1222所以球罐内的油量的总体积为：V5?V51?V52?V53?V54
这里我们对建立的模型取了不同的高度和倾斜角度来检验模型的准确。其中纵向倾斜角度??3?时高度间隔10cm时的罐容表标定值见如表2所示。
表2.储油罐为主体圆柱两端为球冠其只纵向偏移3?时的罐容表
油位高度 0 100 200 300 400 500 600
油量(纵向和横向) 74.31491 383.669051 1002.000078 1988.832141 3287.159609 4883.629707 6715.762293
13
油位高度 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 油量(纵向和横向) 29284.88497 31108.07876 34943.96173 37761.79985 40550.41694 43293.44186 45961.35349
700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
2横向偏转倾斜时
8745.41834 10943.80179 13286.75517 15752.90982 18322.72985 20977.93662 23701.13933 26475.57014
2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 48574.88207 510775.6497 53462.58567 55708.65462 57791.88932 59684.30884 61386.90111 65062.23466 64956.99592
当储油罐有横向偏转倾斜时，设h0为没有横向偏转倾斜时，油位探针应该显示的高度；设h为有横向偏转时，油位探针应该显示的高度。因为储油罐的主体为圆柱体，两端为球冠体，所以该储油罐具有对称结构。由此可得当储油罐横向转倾斜后，其油面的水平高度没有变化，只是油位探针的位置发生了变化。设R为圆柱的半径，如图所示为横向转倾斜后正截面图：
图15横向倾斜与无横向倾斜时的关系图
由平面几何关系可得： （1）当h0?R?1?cos??时，h=0； （2）当R?1?cos???h0?2R?Rcos?时，
h?cos??h0?R?1?cos??即：h?h0?R?1?cos??；
cos?（3）当2R?Rcos??h0时，横向转倾斜后的油位探针位置达到最大值2R，即
h=2R。
综上所述，没有横向偏转倾斜的油位探针应该显示的高度h0与有横向偏转倾斜的油位探针应该显示的高度h的关系如下：
14
h0?R?1?cos???0??h?R?1?cos??h??0R?1?cos???h0?2R?Rcos?
cos???2R?Rcos??h0?2R在此题中，由题意可知该圆柱体的半径R=1.5（米）。所以此题中h和h0的关系为：
h0?1.5?1?cos???0??h?1.5?1?cos??h??01.5?1?cos???h0?3?1.5cos?
cos???3?1.5cos??h0?3当储油罐既有纵向倾斜又有横向偏转时，又上表达式可得： 当1.5?1?cos???h0?3?1.5cos?时
h0?h?1.5?cos??1.5
设该储油罐体只纵向倾斜时的油位探针的显示高度为h1则：
?h0??h?1.5?cos??1.5?1 ?h1?h?0.4tan??h0?h1?解此方程组可得：h1??h?1.5?cos??1.5?0.4tan?
h1?0.4tan??1.5h??1.5
cos?h1?0.4tan??1.5因为h?0，所以?1.5?0
cos?解此方程可得：h1?0.4tan??1.5?1?cos?? 3当具有横向和纵向变位时
将只有纵向变位时油位探针显示高度h1与相应纵向变位时再横向变位?角的变位时的油位探针显示高度h的对应关系h1??h?1.5?cos??1.5?0.4tan?带入只有纵向倾斜时V=（h1）中即得到既有纵向变位也有横向变位时的油位探针的显示高度与储油罐所剩的体积的表达式如下： 1.当0.4tan??1.5?1?cos???h?7.6tan??1.5?cos??1?时，
cos?15
V??2?y0.110?h?1.5?cos??1.5?0.4?y?tan?1.5?R1tan?R2??0.625?y???z?1.5?dzdy
1.52??z?1.5?dzdy
222?h?1.5?cos??1.5?0.4tan?V??2102??h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?0V1?V11?V12； 2.当
7.6tan??1.5cos??1.51.5cos??1.4tan?时， ?h?cos?cosV21=V11
V22??2?0L?h?1.5?cos??1.5?0.6tan?01.52??z?1.5?dzdy
2V2??2?83y1?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?1.5?R2R2??y?7.375???z?1.5?dzdy
22V2?V21?V22?V23； 3.当
131.5cos??1.4tan?1.5cos??8.6tan??h?时，
cos?cos?y0?1LV???Rdy??2?y0210?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?1.5?R1R12??z?1.5?dzdy
22V3??2?02?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?01.52??z?1.5?dzdy
V33??2?8y1?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?1.5?R2R2??y?7.35???z?1.5?dzdy
22V3?V31?V32?V33；
4.当
1.5?1?cos???0.4tan?8.6tan??1.5cos?时， ?h1?cos?cos?y00?1y01.5?R1V41???R12dy??V42＝V32
V43??2?8y1??h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?R12??z?1.5?dzdy?V31
2?h?1.5?cos??1.5??0.4?y?tan?1.5?R2R2??y?7.35???z?1.5?dzdy???R22dy
y1229V4?V41?V42?V43；
5.当1.5??h?1.5?cos??0.4tan??h1?1.5??h?1.5?cos??1.6tan?时，
2V???Rdy????R2??0.625?y??dy
??1?1?152100V52???1.52?y1
16