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的数学理论体系，其指导思想正是由《几何原本》开始的。由于《几何原本》的这种思想原则和结构方式，从实质上说，《几何原本》是一个比较完整的、相对封闭的数学理论体系。 (2)抽象化的内容
《几何原本》以及以它为代表的古希腊数学著述，都是论述一般的、抽象的数学概念和命题的，它们探讨的只是概念和命题的各种逻辑关系，由一些给定了的概念和命题推演出另一些概念和命题。它不考虑产生这些概念和命题的社会背景，也不研究这些数学“模型”所 由之产生的那些现实原型。比如在《几何原本》中研究了“所有的”矩形(即抽象的“矩形”概念)的性质，但却不研究任何一个具体的矩形的实物的大小。又如在《几何原本》中，研究数的若干性质，但却一点也不涉及具体的数的计算和应用。它用线段表示数，即一般 的、抽象的数，用演绎推理研究其性质。它排斥各种理论的实际应用，重视抽象理论、鄙视具体运用是《几何原本》的基本倾向。 (3)公理化的方法
作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式的公理法就是以欧几里得的《几何原本》开其端的。它采用了前面我们说的比较严格的演绎体系——通常称为公理体系，而建立公理体系的方法就称为公理方法。欧几里得的公理法对后世影响极大，《几何原本》作为公理法的典范对数学以及科学的发展起了很大的作用。现代数学和各门科学中的公理法正是由《几何原本》的公理法发展出来的。 二、《九章算术》思想方法的体例及特点
《九章算术》共分九章，每一章都包括若干道问题，共计有246道题。每道问题后给以答案，一些问题后给出“术”，即解题的方法。通过这种形式，对我国古代数学作了总结和发展，代表了中国古代数学的基本思想方法．它具有如下的特点。 (1)开放的归纳体系
《九章算术》是按着当时社会实践所需要解决的问题来分类的，每一类(一章)中设置若于个实际问题，每个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际问题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的体系——从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时社会实 践所需要解决的问题来分类的，那么社会实践的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然会直接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中的问题，所以是一个开放的体系。整个中国古代数学思想都具有这个特点，《九章算术》是它的一个典型代表。 《九章算术》的每一章都是同一类型的应用问题或者是通过同类数学模型采解决的多种应用问题。通过九章的内容，可以看出它是一个与社会实践密切相联系的“开放”体系，通过这些章中给出的算法，解决了当时社会生产和生活所提出来的各种计算问题。 《九章算术》是一个按应用问题性质归纳分类的开放性的理论体系。《九章算术》之后的中国封建社会的各种数学著述，基本上都以它为范本，而且大都采取了它的体例，即结合一类应用问题的解法，改善和提高有关的算法，发明创造新的数学理论，在中国古代封建社 会里，取得了辉煌的成就，在世界上长期处于领先地位。不仅如此，《九章算术》的开放性、应用性的数学思想也是近代数学思想发展的一大源泉。考察现代应用数学体系，也正是按应用方向或主要采用的数学模型分类的。 (2)算法化的内容
前面我们已谈过《九章算术》的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问题的算法。《九章算术》中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出 问题的答案来。历来数学家对《九章算术》的注、校基本上都是在“术”上作文章，即不断改进算法。
算法化的内容是完全适合于开放性的归纳体系的。这种体系首先就是要解决实际问题。
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要迅速地解决问题，最好的方法莫过于给出一个算法。对于一类问题，只要能够给出数据就能用给出的算法很快地得出结果，这就能更好地满足社会生产和生活对数学提出的要求。 还应该特别指出，《九章算术》的算法化内容是与算筹的发明和应用分不开的。据专家估计，至迟在公元前5世纪，算筹就已开始使用了。 (3)模型化的方法
从方法论的角度来看，《九章算术》广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”(即算法)转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的——其章的标题也就是。这种数学模型的名称，如“勾股”、“方程”等章。“衰分”、“少广”等章也是由数学模型开始的。
从春秋战国到秦汉之际，中国社会的生产和生活都发生了很大的变化。铁犁牛耕促进了农业生产的高涨，改变了我国古代社会的生产方式。《九章算术》中体现了这一生产发展过程对数学的需要和数学在这种需要下的发展。生产方式的变革对田亩测量、粮食交换、水利工程、税收等等提出新的需要，要求当时的数学解决这些问题。《九章算术》各章都由相应的社会实践中提出现实的原型，用问题表述它们，然后由原型中抽象出数学模型来，当然有的章先给出模型，然后再举出可以应用的原型，表示出模型化方法的另一个侧面——由模型到原型的过程。由对数学模型的研究得出算法来，算法适于用这种数学模型表述出来的一类问题，按原型中的处理方法为范例，人们就可以应用算法解决实际问题。
模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容是相适应的。模型法的各个模型之间当然也有一定的联系，但它们有较大的独立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模型，因此随时都可以由实践中提炼出新的模型。在这种体系里，算法是适合一定的模型 的，因此，算法化的内容与模型化的方法是分不开的，只有采用了数学模型方法才能得到有关的一类问题的算法，这在现代计算理论中也是一个确定不移的原则。
反过来，采用模型化的方法也促进了中国古代数学体系和内容的发展，由于采用模型化的方法研究数学，模型从哪里来?只有寻找现实的原型，着眼于现实的问题，这就不可能产生封闭式的演绎体系。解决实际问题的要求对模型化的方法来说，还有一种检验得出来的结果是否正确的意义，因此必须得出实际的可以应用的结果，算法化的内容就随之产生了。
在模型化的方法中，各个数学模型之间的联系是什么呢?当然有实际原型之间的联系的反映，但就数学中表述出来的模型以及针对模型所给出的算法之间也是有联系的，那就是通过计算工具——算筹——所产生的联系。算筹的实际可应用性和布列算筹的规则——《九章算术》中没有谈及——就是各种模型以及各种算法之间的联系且还是《九章算术》所隐含的数学上的前提，这一点是一个要进深入研究的课题。
思考题： 《几何原本》和《九章算术》的思想方法特点是什么?它们的重要历史意义是什么?
第二章 数学思想与方法的几次重要突破
学习要求
1．知道算术的局限性、常量数学的局限性、欧氏几何的局限性、确定数学的局限性； 2．了解变量数学、非欧几何、解析几何产生的过程、随机数学的发展
3．理解变量数学产生的意义、确定数学与随机数学的区别、随机数学产生的意义。 主要内容指导 一、代数学的发展
文艺复兴运动是一场伟大的思想解放运动，也是科学的复兴和发展的运动。科学的发展既是这场运动的结果，又是它的一个极大的推动力。
1543年，哥白尼发表了著名的《天体运行论》，提出了宇宙的日心说。这一发现当然是
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由于航海和贸易活动对天文观测的需要，因为原来的托勒密的地心说已越来越与观测事实不符，而且计算复杂，不能满足人们的需要了。这一发现对人的思想的解放也是一个十分重要 的因素，因为它证明了宗教迷信的荒谬。1609年开普勒提出了行星运动三大定律，使天文计算更加准确。
文艺复兴也是数学科学的复兴。人们继承了从“大翻译运动”所重新得到的古希腊数学，作了大量的创造性工作，使数学思想有了重要的新发展。
12世纪初,欧几里得的《几何原本》由布思的阿德尔哈德(英国,.Adelhard of Bath,1120年)从阿拉伯文译成拉丁文,后来成为欧洲中世纪大学的标准教科书。但是，在文艺复兴中首先得到发展的却是由阿拉伯人传来的代数学的思想方法，整个16世纪以至于17世纪的数学都表现出这种倾向。这一时期代数学的发展有如下几个重要的成果。 (1)采用印度一阿拉伯数字
印度一阿拉伯数字就是我们现代通用的数字，它用10个数码1，2，3，4，5，6，7，8，9，0就可以表示任何数。当然，现在采用的形式是经过漫长的历史发展的结果。这种数字最初产生于印度，印度人对数学的一大贡献是认识了零并发明了“0”号。8世纪左右，这种数字传人阿拉伯世界，经阿拉伯人的改造，于12世纪传人欧洲。欧洲人当时认为是从阿拉伯人传来的，称为“阿拉伯数字”，至今仍有这种称呼。但由于封建社会的保守性和宗教势力的抵制，长时期没有推行开，直到13世纪末(1299年)意大利佛罗伦萨的法令中仍禁 止银行使用印度一阿拉伯数字，有的国家直到16世纪还在抵制它。不过，到文艺复兴时期，大多数国家都采用了这种数字。
印度一阿拉伯数字的采用为数学思想方法带来了重大的变革。首先是使记数和算术运算得以简化；其次，印度一阿拉伯数字的采用又在数学中引人了笔算法。这对数学的发展也具有重要的意义。罗马数字太复杂，也不适合笔算，罗马人用算盘来计算。运用计算工具进行计算最著称的还是中国人，算筹和算盘在计算工具史中占有重要的地位，但正是由于计算工具先进，中国古代并没有发展起笔算来，只是用笔把计算结果记在纸上。笔算固然不如算器算得快，但却能保留计算过程，使人们得以深入研究计算的过程和计算的实质。—方面，为创造更有效的计算工具打下基础；另一方面，关于计算的理论也是在采用笔算后才取得较好的发展的。计算方法在数学中的广泛应用，与笔算的引人也有重要的关系。
(2)系统采用数学符号
我们现在通用的数学符号体系，就是在这个时期奠定了基础的。许多数学符号，是在这一时期发明或开始采用的。例如‘+’号和“—”号最早见于1484年德累斯顿手稿中，1489年捷克人维德曼(Widman)首先在印刷书籍中采用了这种记号。其他符号也纷纷出现了，这对发展数学符号体系具有特殊意义。符号表示一个完全抽象的东西，如a+b=b+a，这里的符号(字母)是表示某一指定了的运算对象，而这种对象具有上式所表示的更一般的性质。另一方面，一个符号一个意思，因而保证我们能正确无误地指明我们想指明的那一类对象，这无疑提高了我们的统摄一类对象的抽象能力。例如我们说“形如a+
的数”，不
用符号大概很难表达出来，表达不出也就是实际上没有“掌握”它们。所以数学符号所代表
的抽象能力是数学发展中不可缺少的。
其次，数学符号便于进行变换操作，而这种变换操作是对符号所表示的数学概念进行深入认识的基本方式。例如现代数学中对某一集合的认识实际上在于按其性质进行分类，即根据变换操作找出它在这一性质之下的所有等价的形式(等价类)等等。这是数学中认识数学 概念的基本方式。
(3)数学基础的新起点
这一时期的数学逐渐脱离了古希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理法。这一方面是
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因为古希腊人在数学中虽然不承认直观．并力图排除直观，但实际上他们的公理法是依赖于感性直观及对这种直观的信念的。文艺复兴时，数学进一步向抽象发展了多就无法依赖这些由感性直观及对直观的信念得来的东西了。这时人们“所关注的新东西是属于现在所谓代数和分析这些数学部门，他们思想里的基本概念是函数依赖的概念，尽管他们一开始不能用抽象的一般性来表达这种概念，他们完全是被一种要求解决力学问题的欲望所鼓舞．例如他们 遗留给我们的‘变元，这个术语就表明了这一点。”这样一来，代数学倒被人认为是依据人们的感性直观得来的一种按某种规则操作符号的技巧。但是代数学的依据究竟是什么呢?这是从代数学产生就令人感到兴趣又感到困惑的问题，这就产生了新的基础问题。当然，这时 的数学还无法解决这个问题，它是在19世纪解决的。但问题的提出仍有重大的意义：人们得到了本质上不同于古希腊数学基础的新数学，实际上是进入了新的抽象层次。
二、解析几何的产生
人们认为，解析几何的产生是数学史上划时代的重大事件。而解析几何的产生，通常以笛卡儿《几何学》一文(发表于1637年的《方法论》的附录)为标志。
解析几何的产生当然有时代背景，例如开普勒用椭圆描述行星绕日运动的轨道，推动人们去研究圆锥曲线；伽里略利用望远镜来进行天文观测，望远镜中透镜的研制涉及到对曲面母线的研究；力学中对抛射体轨迹的研究也涉及曲线。这些科学的发展都提出研究各种曲线 的要求，最起码的是画出这些曲线。笛卡儿使用了代数方法去研究曲线的问题，解析几何就这样开始了。实际上，笛卡儿在《方法论》的另两个附录《论折光》和《流星论》中分别探讨了透镜曲线和气象的一些问题。
(1)解析几何的基本思想
解析几何得以建立的基本思想有两个：实数和平面上的一条直线上的点作成一一对应；有序实数对与平面上的点作成一一对应。很早以前人们就有了初步的坐标观念，例如古埃及人和罗马人用于测量的、希腊人用于绘制地图的坐标思想；奥雷姆(法国人，约1320一 1382)在14世纪曾试图用图线来表示变量之间的关系。但是在明确提出上述两个原则之前，无法用代数方法来研究几何学。笛卡儿解决了贯彻这两个原则的方法问题，那就是建立坐标系。
(2)解析几何的意义
解析几何的产生在数学史上具有划时代的意义。
●在数学中弓I入了变量概念
建立坐标系，把几何曲线和代数方程对应起来实际上就已用到了变量概念：方程无非是两个变量的关系，几何曲线上的点的坐标就是变量在变化过程中所取的值。
●提供了一种解决一般问题的方法
古希腊几何中的许多问题都是个别地解决的，而引入解析几何后就可以用解析方法(代数方法)作一般性的处理。例如几何作图问题就是在有限次使用没有刻度的直尺和圆规的条件下作出所要求的图形的问题，即所谓“尺规作图”。如果能够按条件作出所求图形，则称 这个问题为作图可能问题，这时图形叫做可作的；如果作不出所求图形，那么可分为两种情况：一是所求的图形实际不存在，这时，就可说这个问题是不成立的；一是所求的图形是存在的，但只用尺规无法作出，这时，就可说这个问题是作图不可能的。
●为数学思想的发展开辟了新的天地
欧几里得《几何原本》建立了第一个数学理论体系，在数学思想发展中占有重要的地位。解析几何的建立则把数学理论推向一个新的高度，为新数学思想的发展开辟了新天地。
首先是数学概念得到进一步概括。例如“曲线”概念，古希腊人只限于能用一些简单工具(直尺、圆规及少数其他机械)作出来的图形。而解析几何则把“曲线”概括为任意的几何图形，只要它们对应的代数方程是由变量x，y的有限次代数运算所构成的。这样，开辟