发布时间 : 星期四 文章2020版高考数学大一轮复习 第九章第8节 圆锥曲线的综合问题学案 文 新人教A版更新完毕开始阅读584febf6182e453610661ed9ad51f01dc381576d
2019年
第8节 圆锥曲线的综合问题
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
知 识 梳 理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，
??Ax＋By＋C＝0，2即?消去y，得ax＋bx＋c＝0. ?F（x，y）＝0?
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
2
Δ＞0?直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0?直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k|x1－x2| ＝1＋k·（x1＋x2）－4x1x2 ＝1
1＋2·|y1－y2|＝222
k121＋2·（y1＋y2）－4y1y2. k[常用结论及微点提醒]
1.直线与椭圆位置关系的有关结论
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交. 2.直线与抛物线位置关系的有关结论
(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线； (2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
2019年
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( ) (2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( ) (3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( )
(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝1＋t|y1－y2|.( ) 解析 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切. (3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
94A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
2x2y2
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 答案 A
3.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
412A.23
B.2
C.3
D.1
x2y2
解析 ∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为y＝3x，∴点F到3x－y＝0的距离
41243为＝23.
2答案 A
4.过抛物线y＝2x的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2等于________.
2
x2y2
y＝2x，??11??2
解析 易知抛物线y＝2x的焦点为?0，?，设过焦点的直线的斜率为k，则其方程为y＝kx＋，由?1
8?8?y＝kx＋?8?
112
得2x－kx－＝0，故x1x2＝－. 8161
答案 －
16
5.已知F1，F2是椭圆16x＋25y＝1 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________. 解析 由题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4c＝144＝(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝128，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2019年
11
所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×128＝64.
22答案 64
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
x2y2
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在
abC1上.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y＝4x相切，求直线l的方程. 解 (1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1， 又点P(0，1)在曲线C1上，
01222
∴2＋2＝1，得b＝1，则a＝b＋c＝2，
2
ab所以椭圆C1的方程为＋y＝1.
2
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，
x2
2
x??＋y2＝1，222由?2消去y，得(1＋2k)x＋4kmx＋2m－2＝0. ??y＝kx＋m因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16km－4(1＋2k)(2m－2)＝0. 整理得2k－m＋1＝0.①
??y＝4x，222由?消去y，得kx＋(2km－4)x＋m＝0. ?y＝kx＋m?
2
2
222
2
2
2
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)－4km＝0，整理得km＝1.② 22??
?k＝，?k＝－，
2或?2 综合①②，解得????m＝2?m＝－2. 所以直线l的方程为y＝
22
x＋2或y＝－x－2. 22
2
22
规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.
2
2019年
【训练1】 若直线mx＋ny＝4与圆O：x＋y＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数
94为( ) A.至多一个 C.1
2
2
22
x2y2
B.2 D.0
52
>2，∴m＋n<4，∴＋<＋＝1－m<1，
949436m2＋n2
2
2
解析 ∵直线mx＋ny＝4和圆O：x＋y＝4没有交点，∴
4
m2n2m24－m2
∴点(m，n)在椭圆＋＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点有2个，故选B.
9494答案 B
考点二 与弦有关的问题
x2y2x2y2
x2y2π
【例2】 (2018·黄山二模)设F1，F2分别是椭圆D：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线ab3
交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为23，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形的面积为25. (1)求椭圆D的方程；
(2)设过点F2的直线l被椭圆D和圆C：(x－2)＋(y－2)＝4所截得的弦长分别为m，n，当m·n最大时，求直线l的方程.
解 (1)设F1的坐标为(－c，0)，F2的坐标为(c，0)(c>0)， 则直线AB的方程为y＝3(x－c)， 即3x－y－3c＝0， ∴
|－3c－3c|（3）＋（－1）
2
2
2
2
＝23，解得c＝2.
1
∵·2a·2b＝25，∴ab＝5， 2又a＝b＋c，∴a＝5，b＝1， ∴椭圆D的方程为＋y＝1.
5
(2)由题意知，可设直线l的方程为x＝ty＋2，则圆心C到直线l的距离d＝∴n＝22－d＝
222
2
2
2
2
x2
2
|2t|
t2＋1
，
4
t2＋1
，
x＝ty＋2，??2
22
由?x得(t＋5)y＋4ty－1＝0， 2
＋y＝1??5
设直线l与椭圆D的交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， ∴y1＋y2＝－
4t－1
，y1y2＝2， t＋5t＋5
2