发布时间 : 星期三 文章2020版高考数学第八章平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题学案理(含解析)新人教A版更新完毕开始阅读58a94331988fcc22bcd126fff705cc1754275f37
→→
1
所以|FA|+|FB|=4-(x1+x2)=3。
2→→→故2|FP|=|FA|+|FB|,
→→→
即|FA|,|FP|,|FB|成等差数列。 设该数列的公差为d,则 →→
1
2|d|=||FB|-|FA||=|x1-x2|
2=
12
?x1+x2?-4x1x2。 ② 2
3
将m=代入①得k=-1。
4
712
所以l的方程为y=-x+,代入C的方程,并整理得7x-14x+=0。
441
故x1+x2=2,x1x2=,
28321
代入②解得|d|=。
28
321321
所以该数列的公差为或-。
2828
圆锥曲线中的证明问题常见的有:位置关系方面的,如证明相切、垂直、过定点等;数量关系方面的,如等量关系、恒成立等。在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下,要多采用直接证明法,但有时也会用到反证法。
【变式训练】 (2018·石家庄二模)已知圆C:(x-1)+y=r(r>1),设A为圆C与x轴负半轴的交点,过点A作圆C的弦AM,并使弦AM的中点恰好落在y轴上。
(1)求点M的轨迹E的方程;
(2)延长MC交曲线E于点N,曲线E在点N处的切线与直线AM交于点B,试判断以点B为圆心,线段BC长为半径的圆与直线MN的位置关系,并证明你的结论。
解 (1)设M(x,y),由题意可知,A(1-r,0),AM的中点D?0,?,x>0,
?2?→→
y???y?因为C(1,0),所以DC=?1,-?,DM=?x,?。 2???2?→→
在⊙C中,因为CD⊥DM,所以DC·DM=0, 所以x-=0,即y=4x(x>0),
4
2
2
2
?
y?y2
2
所以点M的轨迹E的方程为y=4x(x>0)。
2
?y2?(2)设直线MN的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),直线BN的方程为y=k?x-??4?
+y2,
??x=my+1,?2??y=4x2
?y-4my-4=0,
2
可得y1+y2=4m,y1y2=-4, 又r-1=x1,则点A(-x1,0), 2y1
所以直线AM的方程为y=x+。
y12
y2???y=k?x-?4?+y2,
?????y2=4x2
?ky-4y+4y2-ky2=0,
2
2
2由Δ=0可得k=,
y2
2y2
则直线BN的方程为y=x+。
y22
??
联立?2yy=x+??y2,
2
2
2y1y=x+,y12
2
y24my11-4
可得xB=-1,yB===2m,
2y12y1
所以点B(-1,2m), |BC|=4+4m=2m+1,
|2+2m|22
所以点B到直线MN的距离d==4m+4=2m+1=|BC|, 2
m+1所以⊙B与直线MN相切。
错误!
2
2x2y2
(配合例1、例2使用)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以
abF1F2为直径的圆与直线ax+2by-3ab=0相切。
(1)求椭圆C的离心率;
→
的最大值。
→
(2)如图,过F1作直线l与椭圆分别交于P,Q两点,若△PQF2的周长为42,求F2P·F2Q
|-3ab|
解 (1)由题意知=c,
a2+4b2
即3ab=c(a+4b)=(a-b)(a+4b)。 化简得a=2b,所以e=
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2。 2
(2)因为△PQF2的周长为42,所以4a=42,得a=2,
由(1)知b=1,所以椭圆C的方程为+y=1,且焦点F1(-1,0),F2(1,0),
2①若直线l的斜率不存在,则直线l⊥x轴,直线方程为x=-1,P?-1,72?2?2????
Q?-1,-?,F2P=?-2,?,F2Q=?-2,-?,故F2P·F2Q=。
22?2?2????
②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1),
??y=k?x+1?,
由?22
?x+2y=2,?
2
x2
2
?
?2??,2?
→→→→
2
2
2
2
消去y并整理得(2k+1)x+4kx+2k-2=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),
4k2k-2
则x1+x2=-2,x1x2=2,
2k+12k+1
2
2
y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2x1x2+k2(x1+x2)+k2,
→
→
F2P·F2Q=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)
=(x1-1)(x2-1)+y1y2
=(k+1)x1x2+(k-1)(x1+x2)+k+1
2
4k?2k-2?22
=(k+1)2+(k-1)?-2?+k+1
2k+1?2k+1?
2
2
2
2
2
7k-179
=2=-, 22k+122?2k+1?7??2
由k>0可得F2P·F2Q∈?-1,?。
2??7??综上,F2P·F2Q∈?-1,?, 2??7
所以F2P·F2Q的最大值是。
2
→
→→
→→
→
2
第2课时 定点、定值、探索性问题
考点一定点问题
x2y2
【例1】 (2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),
abP3?-1,
??3?3??
?,P4?1,?中恰有三点在椭圆C上。 2?2??
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点。
解 (1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点。 1
=1,??b1113
又由+>+知,C不经过点P,所以点P在C上。因此?aba4b13
+??a4b=1,
2
2
2
2
2
1
2
2
2
解
??a=4,
得?2
?b=1。?
2
故C的方程为+y=1。
4
x2
2
(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t,
22
4-t??4-t??
由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为?t,?,?t,-?。
2??2??
4-t-24-t+2
则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设。从而可设l:y=kx2t2t+m(m≠1)。
将y=kx+m代入+y=1,得(4k+1)x+8kmx+4m-4=0,由题设可知Δ=16(4k4-m+1)>0。
设A(x1,y1),B(x2,y2),
8km4m-4
则x1+x2=-2,x1x2=2。
4k+14k+1而k1+k2=
2
2
22x2
22222
y1-1y2-1kx1+m-1kx2+m-12kx1x2+?m-1??x1+x2?+=+=。 x1x2x1x2x1x2
2
4m-4
由题设知k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0。即(2k+1)·2+(m-
4k+1-8kmm+11)·2=0。解得k=-。
4k+12
当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-过定点(2,-1)。
m+1m+1
x+m,即y+1=-(x-2),所以l2
2