发布时间 : 星期三 文章2020最新高考数学二轮复习 专题三 数列与不等式 第3讲 数列的综合问题学案(考试专用)更新完毕开始阅读58b34b330342a8956bec0975f46527d3250ca638
则2fn′(2)＝2＋2×2＋…＋(n－1)2
2
2n－1
＋n·2，②
n－1
n由①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋2＋…＋21－2nn＝－n·2＝(1－n)·2－1， 1－2所以fn′(2)＝(n－1)·2＋1. (2)证明 因为fn(0)＝－1<0，
nn－n·2
n2??2?n??1－?3??32??????－1＝1－2×?2?n≥1－2×?2?2>0，
fn??＝?3??3?2?3?????
1－3
?2?所以fn(x)在?0，?内至少存在一个零点， ?3?
又fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1
>0，
?2?所以fn(x)在?0，?内单调递增， ?3?
2??0，因此fn(x)在??内有且仅有一个零点an， ?3?
x－xn＋1
由于fn(x)＝－1，
1－x＋1
an－ann所以fn(an)＝－1＝0，
1－an11n＋1112
由此可得an＝＋an>，故 2222311n＋11?2?n＋11?2?n所以0 222?3?3?3?热点三 数列的实际应用 数列与不等式的综合问题把数列知识与不等式的内容整合在一起，形成了关于证明不等式、求不等式中的参数取值范围、求数列中的最大(小)项、比较数列中项的大小等问题，求解方法既要用到不等式知识，又要用到数列的基础知识，经常涉及到放缩法和数学归纳法的使用． 例3 (2018·浙江省名校协作体联考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋(－1)(n∈N)． ??－1????是等比数列； (1)证明：an＋ 3?? nn* 119 (2)当k是奇数时，证明：＋ akak＋12111 (3)证明：＋＋…＋<3. a1a2an证明 (1)∵an＋1＝2an＋(－1)， n 5 ?－1? ∴an＋1＋ 3 n＋1 ?－1???＝2?an＋?， 3?? n?－1?2 又a1＋＝， 33 ??－1??2 ?是首项为，公比为2的等比数列． ∴数列?an＋ 3?3? n?－1?22－?－1? (2)由(1)可知an＋＝，即an＝， 333当k是奇数时， 333?2－1?＋3?2＋1?9·29 ＋＝k＋k＋1＝ 1933 ＋ 1 1 k＋1 kknnnn111?11??11??1＋1?<3?1＋12＋…＋1n?＝3?1－1n?<3； ∴＋＋…＋＝?＋?＋?＋?＋…＋?aaaaaa??222??2? a1a2 an? 12 ?? 34 ?? n－1n????? 11933当n为奇数时，＋ anan＋1222 1?111?11??11??1＋1?＋1<3?1＋12＋…＋n1 ∴＋＋…＋＝?＋?＋?＋?＋…＋?－1＋n???22＋1?a1a2an?a1a2??a3a4??an－2an－1?an?2211??1??11 <3?＋2＋…＋n－1＋n?＝3?1－n?<3. 22??2??22111 ∴＋＋…＋<3. a1a2an思维升华 数列中的不等式问题主要有证明数列不等式、比较大小或恒成立问题，解决方法如下： (1)利用数列(或函数)的单调性． (2)放缩法：①先求和后放缩；②先放缩后求和，包括放缩后成等差(或等比)数列再求和，或者放缩后用裂项相消法求和． (3)数学归纳法． 跟踪演练3 (2018·杭州质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋(c>0，n∈N)． (1)证明：an＋1>an≥1； can* ?1?* (2)若对任意n∈N，都有an≥?c－?n－1，证明： ?2? ①对于任意m∈N，当n≥m时，an≤(n－m)＋am； ②an≤ 5n－1 . 2 * cam 6 证明 (1)因为c>0，a1＝1， 所以ac* n＋1＝an＋a>an(n∈N)， n下面用数学归纳法证明an≥1. ①当n＝1时，a1＝1≥1； ②假设当n＝k时，ak≥1， 则当n＝k＋1时，ack＋1＝ak＋a>ak≥1. k所以当n∈N* 时，an≥1. 所以an＋1>an≥1. (2)①由(1)知当n≥m时，an≥am≥1， 所以accn＋1＝an＋a≤an＋， nam即accn＋1－an≤a，累加得an－am≤(n－m)． mam所以acn≤a(n－m)＋am. m②若c>18c2，当m>－2 ?2c－1? 2时， a1m>??? c－2 ??8c－22c??2c－1? 2－1＝ 2c－1. 所以ca . m2 所以当n≥m时，??1?c－2??c? n－1≤an≤a(n－m)＋am. m1＋acmm－ 所以当n>am时，??c－1??n－1>cc－1c?2?a(n－m)＋am，矛盾．m2－am所以c≤1 2 . 因为a2 2 c2222 5n＋1＝an＋2c＋a2≤an＋2c＋c≤an＋， n4 累加得a22 55n－1n≤a1＋4(n－1)＝4， 所以a5n－1n≤ 2 . 7 真题体验 1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________. 答案 －63 解析 ∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1. ∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列， ∴Sa1?1－qn?－1?1－2n?nn＝1－q＝1－2 ＝1－2， ∴S6 6＝1－2＝－63. 2．(2017·浙江)已知数列{x* n}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N)． 证明：当n∈N* 时， (1)0 xnxn＋1 2 ； (3)11 2n－1≤xn≤2 n－2. 证明 (1)用数学归纳法证明xn>0. 当n＝1时，x1＝1>0. 假设当n＝k(k∈N* )时，xk>0， 那么当n＝k＋1时，若xk＋1≤0， 则0 n>0(n∈N)． 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1， 因此0 n＋1 xnxn＋1－4xn＋1＋2xn ＝x2 n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)． 记函数f(x)＝x2 －2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)． 8