发布时间 : 星期五 文章2007复变期末考试[A](07-08)4更新完毕开始阅读59009bc589eb172ded63b728
四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算
26. 求分式线性映射??f(z)，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件f(2i)?0，
?2?01d?.
5?4co?sargf?(0)??..
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??2,?27. 求函数f(t)??t,?0,?
?1?t?00?t?1的傅氏变换。 其它28．用拉氏变换求解方程y?(t)?y(t)?et,其中y(0)?1.
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复变函数与积分变换期末试卷答案
一、选择题
1．A. 2. C. 3.B 4. B 5. D 6. A 7. D 8. C 9.A 10.D 11.D 12.B 13.A 14.B 15.C 二、填空题
1?3?(3?1)i6s2?216．, 17. 2, 18. zsinz?cosz?1, 34(s?1) 19.
1?, 20. , 6. 22三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）
21. 将函数f(z)?1在点z?0处展开为洛朗级数.
(z?1)(z?2)解：函数f(z)的奇点为z?1和z?2，所以函数f(z)在圆环0?z,1;1?z?2;z?2内可展开成洛朗级数................................1分(1)当0?z?1时,f(z)?111?11????(z?1)(z?2)(z?2)(1?z)2(1?z)(1?z)2n
???1??z?1nn??z?(1?)z...............................2分?????n?12n?0?2?n?02n?0
(2当)?1z?时2f(z)?,
111?111????(z?1)(z?2)(z?2)(1?z)2(1?z)z(1?1)2znnn??1??z?1??1?1n??1????????????n?1z????...............................2分2n?0?2?zn?0?z?n?02n??1z?(3)当2?z时,f(z)?1111111????(z?1)(z?2)(z?2)(1?z)z(1?2)z(1?1)zznnn?1
?1??2?1??1??1???????????(2n?1)??...............................2分zn?0?z?zn?0?z??z?n?1复变函数与积分变换 第 7 页 共 6页
22．已知v(x,y)?2xy?4y，求一解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，并使f(0)?3。 解：由柯西－黎曼方程得
x?u?v??2x?4, 所以u(x,y)??(2x?4)dx?x2?4x?C(y)............3分
0?x?yy?u?v?C?(y)????2y,所以C(y)??C?(y)dy??y2?C...............3分
0?y?x所以u(x,y)?x2?y2?4x?C.
从而f(z)?x2?y2?4x?C?(2xy?4y)i.
又f(0)?C?3. 所以f(z)?x2?y2?4x?3?(2xy?4y)i.....................2分 23．设C为从原点到3－5i的直线段，计算积分I??[(x?y)?2xyi]dz
C解：设曲线C的参数方程为C:z?(3?5i)t0?t?1............1分
I??[(x?y)?2xyi]dz??(3t?5t?30t2i)(3?5i)dt..........3分
C01??(8t?30t2i)(3?5i)dt?(3?5i)(4t2?10t3i)|10.................2分
01??38?50.............1i分
24. 计算
?|z?|ez?dz. 22(z?1)z(?i)z(?3)ez解：设f(z)?,则z?i,z?1分别(z?1)2(z?i)(z?3)是f(z)的在z?2内的简单极点和二级极点..............1分
ei(1?3i)Res[f(z),i]?lim?z?i???...........2分 2z?i20?z?1?(z?i)?z?3??z?????eez2Res[f(z),1]?lim??z?1????lim??2z?1?z?1(z?i)?z?3??z?1(z?i)z?3??????? ??ez(z?i)?z?3??ez(2z?3?i)??e(3?i)?lim?...................2分??22z?1??8(z?i)?z?3???ez复变函数与积分变换 第 8 页 共 6页