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控制系统的数学模型及传递函数 2-1 拉普拉斯变换的数学方法
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义
1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：
称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数
拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号
关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换
在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数
2．单位脉冲函数
3．单位斜坡函数
4．指数函数
5．正弦函数sinwt
由欧拉公式：
所以，
6．余弦函数coswt
其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
F(s) 1 f(t) 1(t) t
三、拉氏变换的性质 1、线性性质
若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),
则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理
(1)实数域的位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a
有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a.
证明：，
令t-a=τ,则有上式=