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2010届福州市高三数学基础回归备考资料
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十八、矩阵与变换
课程内容不是以矩阵和变换两条独立、平行的主线来展开，而是紧密结合、相互解释、共同发展来展开整个知识体系．该专题突出的是“矩阵与变换”中的“与”，即作为数的“矩阵”与作为形的“变换”两者之间的相互联系、相互利用． 因此，在掌握矩阵与变换基础知识的同时，注意提高数形结合思想的掌握，对矩阵与变换这种新的数形结合方式掌握，为未来的学习提供知识的固着点和思维的方式．
一 、突出数形结合的数学思想．
主要概念都有数和形两个方面的意义，需要从两个方面来理解． 如：各种变换 ? 变换矩阵；变换的复合 ? 矩阵的乘法；逆变换 ? 逆矩阵；变换前后的非零共线向量 ? 矩阵的特征值．等． 例1 已知变换T把平面上的点A（2，0），B（3，1）分别变换成点A′(2,1),B′(3,2)，试求变换T对应的矩阵M. 解 ： 设M=??ab??，则有M： cd???a?1?x???ab??2??2??2a??2??1； ??→???=??·??=??=??， 解得?c?y0cd02c1?????????????2??b?0,?10??x???ab??3??3??3a?b??3????M：??→??=?1综上，M=?11?. ?·??=??=??， 解得???y??cd??1??1??3c?d??2??d?2;?22????例2 已知O（0，0），A（2，1），O，A，B，C依逆时针方向构成正方形的四个顶点.
（1）求B，C两点的坐标；
（2）把正方形OABC绕点A按顺时针方向旋转45°得到正方形AB′C′O′，求B′，C′，O′三点的坐标.
解： （1）显然向量OA绕O点逆时针方向旋转90°得向量OC，变换矩阵M=?所以有?c?=?y1?c??0?1??. 10???x??0?1??2???1?·???=??， 0???1??2?即OC=（-1，2），C点坐标是（-1，2）.
又OB=OA+OC=（2，1）+（-1，2）=（1，3）， 所以B点坐标是（1，3）.
?2?（2）变换矩阵是N=?2?2???2?2??2?2???22??2?， AO=（-2，-1），AC=（-3，1），AB=（-1，2）. 2??2??322?2??2??????2?3?1??2?22?·?. ?=????1122322?????222?2??2?即AO?=???32??2??，AC?=(-2,22), AB′=?2,32? ,?222?2?????2010届福州市高三数学基础回归备考资料
∴OO?=OA+AO?=???4?322?2??， 点O′的坐标是（4?32,2?2）, ,42?22???4?22?32??. ,?2?2?同理，点C′的坐标是(2-2,1+22), 点B′的坐标是???1 0??1 0?2?，矩阵MN对应的变换把曲线y?sinx变为曲线C，求Ｃ的方程． 例3已知矩阵M???，N???0 1??0 2????1??1??1 0?? 0?? 0??2解：MN??，设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y?sinx上点??2?????0 2??0 1??0 2??1?1???x0?2x,?x?? 0??x0??x?x0,?P0(x0,y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有???2，即所以2???1又点???yyy?y.???0 2?0?0??y?2y.?0??2?P(x0,y0)在曲线y?sinx上，故y0?sinx0，从而
1y?sin2x，所求曲线C的方程为y?2sin2x． 2?45?1、 求矩阵??的逆矩阵对应变换把直线x-y=1变成的曲线方程.
46??（
4546=4，∴逆矩阵为
14?6?5??1.5?1.25?） ??=??，∴y′=- x+y=-1, ∴所求y= -1。
1???44???12
2
2.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x+y=1在矩阵A=??20??对应的变换下得到曲线F，求F的方程. ?01??,y0?),则有 解 ： 设P（x0,y0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′(x0?x0????20??x0???2x0,?x0?x0,?x0?所以?2 ???=????，即???y?y?.?y0??01??y0??y0?y0,0?022又因为点P在椭圆上，故4x0+y0=1,
?)+(y0?)=1. 从而(x022
所以曲线F的方程为x+y=1.
二 、基本内容多、概念多，
需要系统全面地归纳和整理． 准确理解A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ将直线变换为直线(或点)的意义，认识它对整个体系的支撑作用． 系统归纳六种基本变换的特点，哪些是初等变换？哪些存在逆变换？哪些存在特征向量？对应的变换矩阵哪些存在逆矩阵？存在特征值？形成全面的认识．
22
3x?2y?4的解 ?3x?y?73-2x4解：已知方程组可以写为：? ???=?? ??31????y????7??例4、用矩阵方法求二元一次方程组??2010届福州市高三数学基础回归备考资料
令M=?
3??3-2? 其行列式3 -2=3×1-3×（-2）=9≠0
1?31?2?2?2??1?1?1??????4x2-1-14∴M =?9 9? = ?9 9? ∴??= M??=?9 9???=?? -33-11???y???7??-11??7????1????????9?3?3??9?3?3x?2即方程组的解为：??y?1 ????1?例5、已知二阶矩阵M有特征值??8及对应的一个特征向量e1???，并且矩阵M对应的变换将点
?1????（Ⅱ）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的(?1,2)变换成(?2,4).（Ⅰ）求矩阵M；
坐标；（Ⅲ）求直线l:x?y?1?0在矩阵M的作用下的直线l?的方程.
?ab??ab??1??1??8??a?b?8?8?解：（Ⅰ）设M??，则，故 ???????????cd??cd??1??1??8??c?d?8?ab???1???2???a?2b??2?，故 ??cd??2??4??c?2d?4???????联立以上方程组解得a?6,b?2,c?4,d?4，故M???62? ??44?2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，矩阵M的特征多项式为f(?)?(??6)(??4)?8???10??16，
????6x?2y?????x??x?故其另一个特征值为??2.设矩阵M的另一个特征向量是e2???，则Me2??解得??2?y?，
4x?4yy???????1?2x?y?0.e2???
??2?（Ⅲ）设点(x,y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x?,y?)，则?64??x??x??1113????，即x?x?y,y??x?y?，代入直线l的方程后并化简得x??y??2?0，即?44??y??y??4848??????x?y?2?0。
?12?1、 求矩阵A???的特征值和对应的特征向量。
??14?????2t?????t?（当?1?2时对应的特征向量a1???(t?0)，当?2?3时对应的特征向量a2???(t?0)）
?1t??t?三、能力要求
本专题的内容有一定的运算量，矩阵的乘法、逆矩阵、行列式、特征值，及有关的应用． 思维过程
中的转换多．注意不同情况下推理、运算所采用的形式(数或形) 。
例6 已知A＝
，B＝
，试用两种方法求AB的逆矩阵．
[解法一]：AB＝
＝
，∴(AB)＝
－1
．
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[解法二]：矩阵A对应的变换是关于直线y＝x的轴反射变换，则A＝A．
矩阵B对应的变换是(x，y)?(x＋y，y)的切变变换，∴B对应的变换是(x，y)?(x－y，y)的切变变换．∴
－1
－1
B－1A－1是(x，y)?(y，x)?(y－x，x)的变换，∴B－1A－1＝
1、 试从几何变换的角度求AB的逆矩阵. （1）A=?（2）A=??20??10??，B=??； 0104?????0?1??01?，B=??. ???10??10?．
解 （1）矩阵A对应的是伸压变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，因
?1?0??此它的逆矩阵是A=?2?； ?01???-1
同理，矩阵B对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的4倍，因此
它的逆矩阵是
?10??； B=??01???4??-1
?1??10??1??0?-1-1-1?·?20?=?2所以（AB）=BA=??. 1?0????1??4??01??????04???（2）矩阵A对应的是反射变换，它将平面内的点变为该点关于直线x-y=0的对称点，所以该变换的逆变换为其自身，A=??；
?10?矩阵B对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点， 所以B=???1-1
-1
?01??0?1??； 0?-1
-1-1
所以，（AB）=BA=???1?0?1??0??01???10???=??. ?10??0?1?四、注重综合，培养能力
掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)．会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题．
例7 某化工企业的环保投入有两种途径，一是加强管理和设备改造，二是治污，记第n年的两项投入分别为an，bn万元，且满足an＋1＝1.1an－0.3bn，bn＋1＝0.2an＋0.4bn，若第1年的两项投入分别为a1＝20万元，b1＝30万元．问经过10年的环保投入，第11年的环保总投入约是多少万元．
解：设β＝
，M＝
．则
．
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M的特征多项式f(λ)＝
(2λ－1)(λ－1)，令f(λ)＝0，解得λ1＝
，λ2＝1．
特征值λ1＝1相应的特征向量为α1＝
，
特征值λ2＝
相应的特征向量为α2＝
．
设β＝mα1＋nα2，则
解得β＝2α1＋14α2，
＝Mβ＝2Mα1＋14Mα2＝2
101010
＋14(
)
10
＝
≈
．
∴第11年的环保总投入约为8万元．
1.已知矩阵M有特征值?1=4及对应的一个特征向量e1=??，并有特征值?2=-1及对应的一个特征向量
3???2?e2=??.
?1???1?（1）求矩阵M；（2）求M解 （1）设M=?故?又??2a?3b?8.
?2c?3d?12?a?c?a?c2 008
e2.
b??d?b??a，则??d??c?2??2??8?=4????=??， ?3??3??12?b??1??1???1?? ??=（-1）??=??， d???1???1??1?故??a?b??1.
c?d?1?联立以上两个方程组， 解得a=1,b=2,c=3,d=2,故M=?（2）M
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?1?32??. 2??1??1???=??. ??1???1?e2=?20082e2=（-1）
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