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大学研究生学位课程论文
论 文题 目：
学习数理逻辑的意义
摘要：数理逻辑就是用数学方法研究思维形式的逻辑结构及其规律的科学。数理逻辑发展到今天，已经成熟为一门崭新的科学，具有强大的生命力和广泛的影响。学习数理逻辑可直接提高数理逻辑智能，如有利于学生思维能力的增强、思维效率的提高和创新能力的提升。数理逻辑在数学、计算机科学、语言研究、哲学等领域都已应用，数理逻辑学的任务在于探讨如何为整个数学建立严格的逻辑基础，其特点在于使用形式化的方法包括公理化的方法，因而比较抽象和艰深。本文介绍了数理逻辑的产生，数理逻辑主要贡献者的思想，数理逻辑的应用及学习数理逻辑学的意义。 关键词：数理逻辑；逻辑演算；应用
数理逻辑是一门新兴学科，至今有300年的历史。近百年来，它取得了长足发展。在现代的数学和计算机科学中以及在自然科学和社会科学的一些部门中都有广泛应用。在这样的背景下来研究数理逻辑的产生和发展，具有十分重要的意义。数理逻辑是用特制符号和数学方法来研究、处理演绎方法的逻辑学，包括各种逻辑演算（经典的和非经典的）和“四论”模型论、集合论、递归论和证明论。数理逻辑的定义:数理逻辑是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类问题中的逻辑问题的一门学问.当然，对此也可等价地这样说:数理逻辑是用数学方法研究各种推理中之逻辑问题的一门学问.其中主要包括推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性、计算的能行性等这类问题中的逻辑问题.数理逻辑的研究对象:数理逻辑以推理本身作为自己的研究对象，其中主要包括演绎推理、形式推理、数学推理和各种近现代的非经典推理.数理逻辑的研究领域:作为数理逻辑之研究领域的历史性确认部分包括逻辑演算、集合论、模型论、递归论和证明论等五大块.但作为数理逻辑研究领域之近现代发展部分，还应包括诸如模态逻辑、多值逻辑、非单调逻辑、归纳逻辑、似然逻辑、不协调逻辑、信念修正、开放逻辑、中介逻辑和中介公理集合论等等各种各样的非经典逻辑分支.数理逻辑的学科归属:数理逻辑是逻辑和数学互相交织在一起的一门边缘性学科，或者说，数理逻辑既是一门逻辑化了的数学分科，又是一个数学化了的逻辑分支。
那么数理逻辑的的主要基础是什么？逻辑是研究推理的科学，分为形式逻辑和辨证逻辑。数理逻辑开始于用数学方法对形式逻辑中推理规律的研究，后来进一步发展到对数学中基础性问题及逻辑性问题的研究。现在数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑的一门科学，也就是用数学方法研究推理的科学。所谓数学方法［1］，主要是指引进一套符号体系的方法，因此数理逻辑又叫符号逻辑。现代数理逻辑主要有四大分支：证明论、模型论、递归论和公
理集合论,其中命题演算和谓词演算（即一般的所谓古典数理逻辑）是各个分支的共同基础。命题是形式逻辑中的基本术语，也是数学中最基本的元素。一个命题是一个或真或假而不能两者都是的断言，也就是说，命题是一个非真即假的陈述句。由此我们可以看出一个命题具有两种可能的取值：如果命题是真，我们说它的真值为真，通常用T(True)表示；反之，用F(False)表示真值为假的命题。在计算机语言中则是分别用1和0来表示一个命题真值的真假。像这样只有两种取值的命题逻辑称为二值逻辑。命题的真值与所讨论问题的范围有关，不能一概而论的说某个命题一定是真或一定是假。在所有断言中有叫悖论的断言值得一提。 数学命题包括简单命题（亦称原子命题,）和复合命题。前者是只用一种判断性谓语动词叙述某事物的属性、发展趋势、变化方式等状态的语句或数学表达式。把一个或几个简单命题用联结词(与、或、非等)联结所构的新的命题，就是复合命题。基本的逻辑联结词有：⑴表示“非P”含义的否定词；⑵有“与”、“并且”含义的合取词∧；⑶表达“或者”、“也许…也许…”含义的析取词∨；⑷表达“如果…那么…”因果关系含义的蕴涵词→。所有的命题被翻译成复合命题后，根据真值表来判断命题真值的真或假。[2]
以下是在数理逻辑发展史中几位比较重要的代表人物的思想和贡献： 一、莱布尼兹的数理逻辑思想 （1）思维演算
莱布尼兹继承了思维可以计算的思想，提出了建立思维演算的设想。他认为，演算就是用符号作运算，在数量方面和思维方面都起作用。他说“确实存在着某种演算同普通习惯的演算完全不同，在这里符号不代表量，也不代表数确定的和不确定的，而完全是其他一些东西，例如点、性质、关系。” [3]他提出，在这样的演算中,一切推理的正确性将化归为计算，除了事实的错误，所有的错误将只由于计算失误而来。莱布尼兹要求演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考，也就是说，要把一般推理的规则改变为演算规则。他说“我们要造成这样的一个结果，使所有推理的错误都只成为计算的错误，这样，当争论发生的时候，两个哲学家同两个计算家一样，用不着辩论，只要把笔拿在手里，并且在计算器面前坐下，两个人面对面地说让我们来计算一下吧！”[4] （2）普遍语言
为了能获得思维演算，必须用一种人工语言代替自然语言。莱布尼兹把这种人工语言叫做“普遍语言”，这种语言的符号是表意的而不是拼音的，每一符号表达一个概念，如同数学的符号一样。他有时说这种普遍语言好像是代数，有时他又说它是中国表意文字系统的改进说法 可见中国表意文字的特点对莱布尼兹提出“普遍语言”起了重要的推动作用。莱布
尼兹关于建立数理逻辑的两点设想恰恰抓住了数理逻辑的本质，这两点也正是数理逻辑的特点。
二、弗雷格和罗素的逻辑演算
在数理逻辑发展史上第一个全面系统地建立量词理论的荣誉应当归于弗雷格（G.Frege，1848-1925），他在1879年出版的《概念语言》一书标志着数理逻辑的发展由创建时期进人奠基时期。弗雷格和罗素的逻辑演算系统现已成为一阶逻辑的基础。在后来的发展中，,一些逻辑学家又建立了不同的系统。 三、数理逻辑中的三大学派
数理逻辑中的三大学派围绕着解决第三次数学危机，在数理逻辑中产生了三大学派—逻辑主义学派、形式主义学派和直觉主义学派。以罗素为代表的逻辑主义学派认为全部数学可以从逻辑推出。但是，要从纯逻辑推导出全部数学遇到了极大的困难罗素从纯逻辑演算出发，增加了两条非逻辑的公理，推导出一般算术和集合论，推导出代数和分析的主要概念。罗素的实践向我们表明，逻辑和数学有紧密的联系。直觉主义者认为，逻辑是数学的一部分，是从 数学推出来的。我们可以把他们称为“数学主义者”。形式主义学派以希尔伯特为代表，希尔伯特于1899年出版了《几何基础》 一书，奠定了形式公理学的基础，给出了欧氏几何的一个形式公理系统，并且具体地解决了公理方法的一些逻辑理论问题。 四、学习数理逻辑的意义
首先，数理逻辑有着广泛的应用。到现在，数理逻辑只有短短三百年的历史，但已经成为一门门类众多、系统完整的学科。随着现代科学技术的突飞猛进，它同其他学科有着密切的联系。数理逻辑研究的可计算性问题，是计算机运算的理论基础，它所揭示的推理的逻辑关系，在计算机的线路设计中得到应用。在20世纪40年代，数理逻辑在开关线路、电子计算机、自动控制论、各种讯息处理系统等方面获得显著成果。20世纪60年代以后，电子计算机不仅广泛应用在自然科学各领域里，而且应用于企业管理、考古等方面，这些应用不可避免地要进行各种程序设计，而程序设计方面有许多逻辑问题，数理逻辑在这方面的作用是不可忽视的。数理逻辑的发展和应用，进一步促进了哲学、语言学、法学和心理学等学科的发展，使这些学科的知识水平不断提高，数理逻辑的理论及其应用必将进一步得到发展。 其次，数理逻辑学在数学理论研究中也有到很多的应用，并不只是单单在离散数学中或普通命题演算中显示其作用。逻辑演算理论是一种有效的工具，如果熟练地掌握了逻辑演算的方法和技巧，就为进一步了解和掌握诸如归结原理、逻辑程序设计和定理自动证明等奠定了基础。 尤其是前面提到的数理逻辑的四个分支，都是现在数学理论研究的重要工具。比
方说，递归论应用于数学中不少判定问题的解决（著名的如群论字问题的否定解决，Hilbert第十问题的否定解决）；模型论应用与不少代数及分析数学问题的证明；公理集合论应用于不少数学问题独立性的证明。
数理逻辑学的任务在于探讨如何为整个数学建立严格的逻辑基础,其特点在于使用形式 化的方法包括公理化的方法，因而比较抽象和艰深，这种抽象化的方法除了在建立数学的基础方面已经取得很大成功而外，还在计算机科学上有重要的应用。人工智能又称机器智能，是计算机科学中一门新兴的边缘学科,它采用人工技术和方法，研制智能机器或者智能系统以模仿、延伸和扩展人的智能,实现智能行为、赋予机器模拟人处理问题的能力。 自17世纪德国数学家和哲学家莱布尼茨开创数理逻辑这门学科，至今，由于它采用数学符号化的方法，给出推理规则，建立推理体系，进而讨论推理体系的一致性、可靠性和完备性，在现代的数学和计算机科学以及在自然科学和社会科学的一些研究中，数理逻辑都有着广泛的应用。而在现在的大学教育中数理逻辑却没有得到其应有的重视，忽略了这门学科不仅提供了一种新的数学命题的论证途径，更重要的是在培养科学、严谨的思维能力方面更有其独到之处。在很多代数、集合论方面通常只给出了某些定理，但定理的证明运用本方向的知识却没法得到证明，只有依据了数理逻辑学方面的知识才得到理论上的支持，从而肯定其定理的正确性。 参考文献:
[1] 王世强.浅谈数理逻辑对数学研究的贡献[J].哲学研究,1993
[2] 王学芳.基于格蕴含代数的格值逻辑及其模型论的研究[D].2004年西南交通大学博士论文
[3] 肖尔兹，简明逻辑史，北京，商务印书馆，1977，10-11 [4] 肖尔兹，简明逻辑史，北京，商务印书馆1977，54