发布时间 : 星期五 文章2011~2012学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料第1讲集合更新完毕开始阅读5a92bfe94afe04a1b071dee1
2011~2012学年度高三数学（人教版A版）第一轮复习资料
第1讲 集 合
一．【课标要求】
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用
二．【命题走向】
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：
（1）题型是1个选择题或1个填空题；
（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用
三．【要点精讲】
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合
（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a?A；若b不是集合A的元素，记作b?A；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N；
*
正整数集，记作N或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。
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2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作A?B（或A?B）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A?B且B?A，则称A等于B，记作A=B；若A?B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；
（2）简单性质：1）A?A；2）??A；3）若A?B，B?C，则A?C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一个集合，A?S，则，CS={x|x?S且x?A}称S中子集A的补集； （3）简单性质：1）CS(CS)=A；2）CSS=?，CS?=S
4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集A?B?{x|x?A且x?B}。
（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。并集A?B?{x|x?A或x?B}
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5．集合的简单性质：
（1）A?A?A,A????,A?B?B?A; （2）A???A,A?B?B?A; （3）(A?B)?(A?B);
（4）A?B?A?B?A;A?B?A?B?B；
（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。
四．【典例解析】 题型1：集合的概念
(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 答案 ：12
解析 设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15?x)人，只喜爱乒乓球的有
(10?x)人，由此可得(15?x)?(10?x)?x?8?30，解得x?3，所以15?x?12，即
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所求人数为12人。
例1．（2009广东卷理）已知全集U?R，集合M?{x?2?x?1?2}和
N?{xx?2k?1,k?1,2,?}的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的
集合的元素共有
( )
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 答案 B
解析 由M?{x?2?x?1?2}得?1?x?3，则M?N??1,3?，有2个，选B.
2例2．(2009山东卷理)集合A??0,2,a?,B?1,a,若A?B??0,1,2,4,16?,则a的值
??为 A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D
2 ( )
?a2?16解析 ∵A??0,2,a?,B??1,a?,A?B??0,1,2,4,16?∴?∴a?4,故选D.
?a?4【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
题型2：集合的性质
2例3．(2009山东卷理)集合A??0,2,a?,B?1,a,若A?B??0,1,2,4,16?,则a的值为
??
A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D
2 ( )
?a2?16解析 ∵A??0,2,a?,B??1,a?,A?B??0,1,2,4,16?∴?∴a?4,故选D.
?a?4【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.
随堂练习
1.( 广东地区2008年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R
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︱x+ x－6=0}，则下图中阴影表示的集合为
A．{2}
2
（ ）
B．{3}
C．{－3，2} D．{－2，3}
2. 已知集合A={y|y-(a+a+1)y+a(a+1)>0},B={y|y-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，
2
2
2
2
则实数a的取值范围为（ ）．
分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．
解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y ?a?2?a?2由?2，得? ?a?3或a??3?a?1?4a24a2+1 ∴a??3或3?a?2. 即A∩B＝φ时a的范围为a??3或3?a?2.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为a|a?2或?3?a?3. 评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再 利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”． 例4．已知全集S?{1,3,x3?x2?2x}，A={1,2x?1}如果CSA?{0}，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由 解：∵CSA?{0}； ∴0?S且0?A，即x?x?2x＝0，解得x1?0,x2??1,x3?2 当x?0时，2x?1?1，为A中元素； 当x??1时，2x?1?3?S 当x?2时，2x?1?3?S ∴这样的实数x存在，是x??1或x?2。 32??第 4 页 共 13 页