发布时间 : 星期日 文章高中数学必修一：单调性与奇偶性典型例题(教师版)更新完毕开始阅读5aae40e4fc4ffe473268abc4
必修一：函数的单调性与奇偶性总结
一、单调性
1、定义：对于函数y?f(x)，对于定义域内的自变量的任意两个值x1,x2，当
x1?x2时，都有
f(x1)?f(x2)(或f(x1)?f(x2))，那么就说函数y?f(x)在这个区间上是增（或减）函数。
例1、讨论函数f(x)?x?a，a?0的单调性。 x解：由f(x)为奇函数，令x?0 任取x1?x2?0，f(x1)?f(x2)??x1?x2??x1x2?a?，令x2?a?x?x1x2a
单调递增区间为：
?a,??，-?，-a 单调递减区间为：0，a，-a,0
???????小结：（1）要证明函数的单调性，只能用定义的方法，但它也可用来求函数的单调性；（2）使用定义法判断单调性时，要注意格式，设元、作差、变形、定号、下结论，其中最难的一步为变形，需将作差式整理为多项连乘，方便定号；（4）判断x1x2?a的符号时，可令x1?x1?x，即x?a；（5）当多个同增或同减区间不在一起时，单调区间之间不能用“或”字连接，只能用“逗号”。当多个同增或同减区间连在一起时，要注意判断其单调区间是否能合并；（6）单调性是研究函数图像在某段区间内的变化情况，在某点处研究单调性无意义，故单调区间端点处一般可开可闭，均正确。但若端点处不在定义域内，则必须为开；（7）对于复杂题型，先通过奇偶性得图像对称性，从而只需讨论一半的范围，会降低解题难度；（8）当已知函数值为正时，还可以通过作商实现比大小；（9）记住两个特殊函数的图像。其中g(x)?ax?
2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。） 例2、下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( B ) A.y??3x?1 B.y?x?2 C.y?2bb与h(x)?ax?，a?0,b?0时，图像轮廓相同。 xx42 D.y?x?4x?3 x2小结：熟练掌握常见函数的图像，是研究函数性质的关键。如：y?x?2、y?x?2?2、y?x?4x?3、
y?x2?4x?3等，一般先判断奇偶性得图像对称性，从而先画x?0的图像，再通过对称性得另外一半的图像；
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如果函数整体带绝对值，只需将x轴下方图像翻上。如果是非标准型，先找原点位置即可。 例3、下列函数中，在?0,???上为增函数的是( D ) A.y?x2?4x?3 B.y?-x-5 C. y?2x?332 D.y?x?4x? x-1x小结：（1）分式形式的函数，常用“分离常数”的方法化简；（2）一个复杂函数可以分解成多个函数相加得到，而函数的单调性也可以进行加法运算，同减为减，同加为加，但不能进行乘除运算。同时要注意单调区间统一。
2??(a?2)x?a?6a?5,x?1例4、若函数f(x)??2为R上减函数，则实数a的取值范围是 1?a?2
??x?2x,x?1小结：分段函数单调性并不是不能合并，只是需要满足两点（1）各段单调性相同；（2）两段函数图像在联结处也符合相同的单调性，此点用联结处两函数值的大小来反映图像的上下关系。
3．二次函数的单调性：对函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，由开口方向与对称轴同时决定。 例5、已知函数f(x)?x2?4x?3，求函数f(x)在区间?t,t?1?的最小值g(t)与最大值h(t)
?2?5??t2?6t?8,t????,?3?t?6t?8,t??,????????2?g(t)???1, t???3,?2? h(t)??
5??t2?4t?3,t???2,????t2?4t?3,t????,?????2???小结：（1）由于给定为动区间，它在抛物线上的位置未定，导致最值无法确定；（2）只需弄清区间与抛物线的对称轴之间相对位置关系，就能通过图像确定最值的位置，故需要讨论三种情况：对成轴在区间左边、右边、中间；（3）开口向上的抛物线中，有其天然的最小值，即顶点处。故，最大值只能在给定区间的端点处取到。由，抛物线的轴对称性，开口向上的抛物线上的点，到对称轴距离越大，函数值越大。则，只需讨论给定区间的两端点到对称轴的距离的大小，就能确定最大值是左右端点中哪个个取到；（4）开口向下的抛物线、定轴动区间，解法与本题类似。
4．复合函数的单调性：同增异减 例6、函数y?x2?2x?3的单调减区间是 （ A ）
A.(??,?3] B.[?1,??) C.(??,?1] D.[1,??)
解：原函数由y?u与u?x?2x?3所复合，由y?u恒增，故函数u?x?2x?3的减区间即为原函数的减
2区间，x??1。但y?u中，u?0，故u?x?2x?3?0?x?1或x??3，综上，x??3
22小结：（1）高中阶段，复合函数单调性一般其中一个简单函数单调性恒定，故只需考虑另外一个函数的单调性，但容易漏掉限制条件；（2）我们可以直接记住结论，首先考查定义域，如果单调性恒定的函数为恒增，那么另一个函数的单调性与原函数单调性相同，其单调区间与定义域取交集即可；如果单调性恒定的函数为恒减，那么另一个函数的单调性与原函数单调性相反。
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