发布时间 : 星期一 文章楂樹腑鏁板蹇呬慨浜岋細涓ゆ潯鐩寸嚎鐨勪綅缃叧绯?- 鐧惧害鏂囧簱更新完毕开始阅读5acac9bc85254b35eefdc8d376eeaeaad0f31660
1.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( )
9
A. 529C. 10
18 B.
529 D.
5
34-12
解析:选C 因为=≠,所以两直线平行,
685将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离, 即
|-24-5|2929
=,所以|PQ|的最小值为.
1062+8210
2.已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若在坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,则P点坐标为________.
解析:设点P的坐标为(a,b). ∵A(4,-3),B(2,-1),
∴线段AB的中点M的坐标为(3,-2). -3+1
而AB的斜率kAB==-1,
4-2
∴线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3, 即x-y-5=0.
∵点P(a,b)在直线x-y-5=0上, ∴a-b-5=0.①
又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2, ∴
|4a+3b-2|
=2,即4a+3b-2=±10,②
42+32?a=1,?
由①②联立解得?或
?b=-4?
?
?8?b=-7.
27a=,7
278,-?. ∴所求点P的坐标为(1,-4)或?7??7278
,-? 答案:(1,-4)或?7??7
[解题师说]
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距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离.关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角形的形状等.
(2)解决与点到直线的距离有关的问题.应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.
(3)求两条平行线间的距离.要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.
[冲关演练]
1.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( ) A.2 2
B.1 D.2
C.2
解析:选C 因为点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,所以当点P处的切线和直线y=x-2平行时,点P到直线y=x-2的距离最小.因为直线y=x-2的斜率等于1,曲线y11
=x2-ln x的导数y′=2x-,令y′=1,可得x=1或x=-(舍去),所以在曲线y=x2
x2-ln x上与直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),所以点P到直线y=x-2的最小距离为2,故选C.
2.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A.32 C.33
B.22 D.42
解析:选A 依题意知AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离都相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得
|m+7||m+5|
=?|m+7|=|m+5|22
|-6|
?m=-6,即l:x+y-6=0.根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为
2=32.
考点三 对称问题 ?题点多变型考点——追根溯源?
对称问题主要包括中心对称和轴对称两类问题,中心对称就是点(线)关于点的对称,轴对称就是点(线)关于线的对称,此类问题多以选择题或填空题的形式考查,难度适中. 常见的命题角度有:
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(1)点关于点的对称; (3)线关于点的对称; (2)点关于线的对称; (4)线关于线的对称. [题点全练]
角度(一) 点关于点的对称
1.过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________.
解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),
则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把B点坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,
解得a=4,即点A(4,0)在直线l上, 所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0. 答案:x+4y-4=0
[题型技法] 若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得
??x=2a-x1,?进而求解. ?y=2b-y1,?
角度(二) 点关于线的对称
2.在等腰直角三角形ABC中,|AB|=|AC|=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP的长度为( )
A.2 8
C. 3
B.1 4 D.
3
解析:选D 以AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立如图所示的坐标系,由题意可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),则直线BC的方程为x+y-4=0,设P(t,0)(0 4-t ·(x+t),设△4+t 44?4444-t?4?,.因为重心G?,?在光线RQ上,所以有=+t,ABC的重心为G,易知G??33??33?34+t?3?444 即3t2-4t=0.所以t=0或t=,因为0 333 第 7 页 共 23 页 [题型技法] 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,由方程x+x?y+y?A?+B????2??2?+C=0,组?y-y?A???-B?=-1,?x-x· 1 2 1 2 22 11 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中 B≠0,x1≠x2). 角度(三) 线关于点的对称 3.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________. 解析:在直线l上取两点B(1,1),C(10,7),B,C两点关于点A的对称点为B′(-3,y+11x+12-5),C′(-12,-11),所以直线m的方程为=,即2x-3y-9=0. -5+11-3+12 答案:2x-3y-9=0 [题型技法] 线关于点的对称的求解方法 (1)在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程; (2)求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程. 角度(四) 线关于线的对称 4.直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是________. ???2x-y+3=0,?x=-1,?解析:法一:联立得? ???x-y+2=0,?y=1. 在直线2x-y+3=0上取一点(0,3), 设其关于直线x-y+2=0的对称点为(a,b), ab+3 ??2-2+2=0,则?b-3??a-0=-1, ??a=1, 解得? ?b=2.? 故所求直线方程经过点(-1,1),(1,2), y-1x+1 所以该直线方程为=,即x-2y+3=0. 2-11+1法二:设所求直线上任意一点P(x,y), 则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0), 第 8 页 共 23 页