发布时间 : 星期一 文章高中数学必修二：两条直线的位置关系更新完毕开始阅读5acac9bc85254b35eefdc8d376eeaeaad0f31660
C．3条 D．4条
解析：选C 当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝?3－1?2＋?1－2?2＝5，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.
2．若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是( )
52A.
2152C. 2
B．52 D．152
解析：选B 由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离为d＝
|－10|
＝52，即P到原点距离的最小值为52. 2
3．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且AB线段10
0，?，则线段AB的长为( ) 的中点为P?a??
A．11 C．9
B．10 D．8
2y
＝0，?x－2
解析：选B 依题意，a＝2，P(0,5)，设A(x,2x)，B(－2y，y)，故?2x＋y
?2＝5，
??x＝4，?所以A(4,8)，B(－4,2)，故|AB|＝?4＋4?2＋?8－2?2＝10. ?y＝2，?
解得
4．(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________________．
??2x＋3y＋1＝0，
解析：法一：由方程组?解得
?x－3y＋4＝0，?
?
?7?y＝9，
5x＝－，
3
57－，?， 即交点为??39?
∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 4
∴所求直线的斜率为k＝.
3
574
x＋?， 由点斜式得所求直线方程为y－＝?93?3?
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即4x－3y＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
??2x＋3y＋1＝0，
由方程组?
?x－3y＋4＝0，?
57
－，?， 可解得交点为??39?代入4x－3y＋m＝0，得m＝9， 故所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 法三：由题意可设所求直线的方程为 (2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0， ① 又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， 所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0. 答案：4x－3y＋9＝0
5．(2018·豫北重点中学联考)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为2，则直线l的方程为________________．
解析：当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，由点A(1,3)到直线l的距离为2，得＝2，解得k＝－7或k＝1，此时直线l的方程为y＝－7x或y＝x；
当直线不过原点时，设直线方程为x＋y＝a，由点A(1,3)到直线l的距离为2，得＝2，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
综上所述，直线l的方程为y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 答案：y＝－7x或y＝x或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0
6．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l2的斜率存在， ∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.
4
又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，
3∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．
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|k－3|1＋k2|4－a|2
a
∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，∴k1k2＝－1，
ba
即b(1－a)＝－1.① 又∵l1过点(－3，－1)， ∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②联立，解得a＝2，b＝2. (2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，
a
∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a.③
b又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2， 4
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b＝b.④
??a＝2，?a＝，?
联立③④，解得?或?3
??b＝－2?
2
?b＝2.
2
∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
3
7．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知：kAC＝－2，A(5,1)， ∴lAC的方程为2x＋y－11＝0，
??2x＋y－11＝0，联立?得C(4,3)．
?2x－y－5＝0，?
x0＋5y0＋1?设B(x0，y0)，则AB的中点M??2，2?， 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
??2x0－y0－1＝0，6联立?得B(－1，－3)，∴kBC＝，
5??x0－2y0－5＝0，
6
∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.
5
C级——重难题目自主选做
1．已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示( )
A．过点P且与l垂直的直线 B．过点P且与l平行的直线
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C．不过点P且与l垂直的直线 D．不过点P且与l平行的直线
解析：选D 因为P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点， 设Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.
若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0， 则Ax＋By＋C＋k＝0.
因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等， 但在y轴上的截距不相等，
故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行． 因为Ax0＋By0＋C＝k，而k≠0， 所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，
所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P.
2．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝01
的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
8
A.21， 22
B.2， D.
2 2
1
C.2，
221， 44
解析：选A 由题意a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，所以ab＝c，a＋b＝－1.
2
|a－b|?|a－b|?2?a＋b?－4ab2
又直线x＋y＋a＝0与x＋y＋b＝0的距离d＝，所以d＝?＝?＝2?2?2
?－1?2－4c1111111111
＝－2c，而0≤c≤，所以－2×≤－2c≤－2×0，得≤－2c≤，所以22828224222≤d≤
2
，故选A. 2
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1．命题p：“a＝－2”是命题q：“直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直”成立的( )
A．充要条件 C．必要不充分条件
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 直线ax＋3y－1＝0与直线6x＋4y－3＝0垂直的充要条件是6a＋12＝0，即a＝－2，故选A.
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