发布时间 : 星期六 文章2019 - 2020学年高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教B版选修2 - 2更新完毕开始阅读5bb8b3ed6d85ec3a87c24028915f804d2a168738
类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面体性质的猜想． [解] 如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得：c＝a＋b；
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类比直角三角形的勾股定理，在四面体P-DEF中，如图(2)，猜想：S＝S1＋S2＋S3(S、
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S1、S2、S3分别是四面体P-DEF的面△PEF、△DEF、△PFD、△PDE的面积)．
类比推理的一般步骤
1.下面使用类比推理正确的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“若a·0＝b·0，则a＝b” B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“
nnnna＋bab＝＋(c≠0)” cccnnD．“(ab)＝ab”类推出“(a＋b)＝a＋b”
解析：选C.A错，因为类比的结论a可以不等于b；B错，类比的结论不满足分配律；C正确；D错，乘法类比成加法是不成立的．
2．已知△ABC的边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，用S△ABC表示△ABC的面积，则
S△ABC＝r(a＋b＋c)．类比这一结论有：若三棱锥A-BCD的内切球半径为R，求三棱锥A-BCD的体积．
类比
解：内切圆半径r――→内切球半径R，
类比三角形的周长：a＋b＋c――→三棱锥各面的面积和：
12
S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD，
1类比1
三角形面积公式系数 ――→三棱锥体积公式系数. 23
所以类比得三棱锥体积
VA-BCD＝R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．
1．利用归纳推理解决问题时，要善于归纳，要对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法，要准确捕捉有用信息并进行分析，大胆猜测，小心验证即可．
2．利用类比推理解决问题时一定要注意两类事物的相似性，例如，拿分式同分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等，但类比推理的结论不一定正确，需要证明．
在进行类比推理时，充分认识两个系统的相同(或相似)之处，充分考虑其中的本质联系，再进行类比，避免因类比的相似性较少，被一些表面现象迷惑导致类比结论的错误．
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适( ) A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形
解析：选C.只有平行四边形与平行六面体较为接近．
2．由数列1，10，100，1000，…，猜测该数列的第n项可能是( ) A．10 C．10
n＋1n1
3
B．10D．10
0
1
2
3
n－1
n－2
解析：选B.数列各项依次为10，10，10，10…，由归纳推理可知，选B.
3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．
1S1h1
V13S1h1111解析：＝＝·＝×＝.
V21S2h2428
S2h23答案：1∶8
11135
4．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，
23n22
f(32)>，推测当n≥2时，有__________．
解析：通过观察归纳可得f(2)>
n7
2
n＋2
2
. 答案：f(2)>
nn＋2
2
[A 基础达标]
1．观察数列1，5，14，30，x，…，则x的值为( ) A．22 C．44
B．33 D．55
解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即an＝an－1＋n，
所以x＝30＋5＝55. 2．给出下列三个类比结论： ①类比a·a＝axyx＋y2
2
，则有a÷a＝axyx－y；
②类比loga(xy)＝logax＋logay，则有sin(α＋β)＝sin αsinβ； ③类比(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，则有(xy)z＝x(yz)． 其中结论正确的个数是( ) A．0 C．2
解析：选C.根据指数的运算法则知a÷a＝axyx－yB．1 D．3
，故①正确；根据三角函数的运算法则
知：sin(α＋β)≠sin αsinβ，②不正确；根据乘法结合律知：(xy)z＝x(yz)，③正确．
3．观察下列各式：1＝1，2＋3＋4＝3，3＋4＋5＋6＋7＝5，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝7，…，可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1) C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)
解析：选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1).
4．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为m，n，c(mnc≠0)的平面方程为( )
A．＋＋＝1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xyabxyzmncB．＋xyz＋＝1 mnncmcC．＋
xyyzzx＋＝1
mnnccmD．mx＋ny＋cz＝1
答案：A
5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 C．6n＋2
B．8n－2 D．8n＋2
解析：选C.从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
6．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________．
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
7．观察下列不等式： 13
1＋2＜， 221151＋2＋2＜， 23311171＋2＋2＋2＜， 2344…
照此规律，第五个不等式为________________．
解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．
1111111所以第五个不等式为1＋2＋2＋2＋2＋2＜. 2345661111111
答案：1＋2＋2＋2＋2＋2＜
234566
8．将全体正整数排成一个三角形数阵(如图)：