发布时间 : 星期四 文章江苏省苏州市2019届高三上学期期末考试数学(含答案)更新完毕开始阅读5be34ec7a4e9856a561252d380eb6294dc8822ed
19. 解：(1) 当a＝b＝1时，f(x)＝x＋x－4，f′(x)＝3x2＋2x.(2分) 2
令f′(x)>0，解得x>0或x<－，
3
2
所以f(x)的单调增区间是(－∞，－)和(0，＋∞).(4分)
3
2b
(2) (解法1)f′(x)＝3ax2＋2bx，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－.(6分)
3a2b
因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f(－)＝0.
3a当f(0)＝0时，得a＝0，不合题意，舍去；(8分) 2b2b2b
当f(－)＝0时，代入得a(－)3＋b(－)2－4a＝0，
3a3a3a8b4bb
即－()3＋()3－4＝0，所以＝3.(10分)
27a9aa(解法2)由于a≠0，所以f(0)≠0，
3
b4－x4
由f(x)＝0，得＝2＝2－x(x≠0).(6分)
axx
32
48
设h(x)＝2－x，h′(x)＝－3－1，令h′(x)＝0，得x＝－2.
xx
当x∈(－∞，－2)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增. 当x>0时，h(x)的值域为R，
3
bb4－x4
故不论取何值，方程＝2＝2－x有且仅有一个根；(8分)
aaxx
当x<0时，h(x)min＝h(－2)＝3，
bb4－x4
所以＝3时，方程＝2＝2－x恰有一个根－2，
aaxx此时函数f(x)＝a(x＋2)2(x－1)恰有两个零点－2和1.(10分) (3) 当a＝0时，因为f(x) 设g(x)＝ln x－bx，则g′(x)＝－2bx＝(x>0). xx 2 3 当b≤0时，因为g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上递增，且g(1)＝－b≥0， 所以在(1，＋∞)上，g(x)＝ln x－bx2≥0，不合题意；(11分) 1－2bx2 当b>0时，令g′(x)＝＝0，得x＝x所以g(x)在(0，所以g(x)max＝g( 1 )上递增，在(2b1)＝ln2b 11－. 2b2 111 －>0，解得b< ①.(13分) 2b22e 1， 2b 1 ，＋∞)上递减， 2b 要使g(x)>0有解，首先要满足ln12 1 因为g(1)＝－b<0，g(e)＝－be>0， 2 ??g（2）>0， 要使f(x) ?g（3）≤0，? ??ln 2－4b>0，ln 3ln 2即?解得≤b< ②.(15分) 94?ln 3－9b≤0，? 1－ln xln x 设h(x)＝，则h′(x)＝. xx2当x∈(0，e)时，h′(x)>0，h(x)递增；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)递减. 1ln 21ln 2 所以h(x)max＝h(e)＝>h(2)＝，所以>. e22e4ln 3ln 2 由①②，得≤b<.(16分) 94 20. 解：(1) 假设数列{an}是“回归数列”， 则对任意n∈N*，总存在k∈N*，使an＋an＋2－an＋1＝ak成立， 即2n＋4·2n－2·2n＝2k，即3·2n＝2k，(2分) 此时等式左边为奇数，右边为偶数，不成立，所以假设不成立， 所以数列{an}不是“回归数列”.(4分) (2) ① 因为bn 所以bn＋bn＋2－bn＋1>bn且bn＋bn＋2－bn＋1＝bn＋2－(bn＋1－bn) s1 b2－13s1＋s2－1s＋3②因为2s＝bt，所以t＝s2 (*). bs＋3－13＋s－1 ＋ ＋ 2（1－s2） 因为t－3＝s2≤0，所以t≤3. 3＋s－1又t∈N*，所以t＝1，2，3.(10分) 当t＝1时，(*)式整理为3s＝0，不成立.(11分) s2－1 当t＝2时，(*)式整理为s＝1. 3 n2－12n（1－n）＋3 设cn＝n(n∈N*)，因为cn＋1－cn＝， ＋ 33n1所以当n＝1时，cn 所以(cn)max＝c2＝<1，所以s无解.(14分) 3 当t＝3时，(*)式整理为s2＝1，因为s∈N*，所以s＝1. 综上所述，使得等式成立的所有的正整数s，t的值是s＝1，t＝3.(16分) 2019届高三模拟考试试卷(四)(苏州) 数学附加题参考答案及评分标准 0m7?? n－7??mn－14??10??21. A. 解：由MM＝????＝??＝??，(4分) ?23??－2 m??2n－6－14＋3m??01? －1 mn－14＝1，?? 所以?2n－6＝0，(8分) ??－14＋3m＝1， ??m＝5，解得?(10分) ??n＝3. B. 解：由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x， 即圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.(3分) ?x＝22t＋m，又由?消t，得x－y－m＝0.(6分) 2?y＝2t， |2－m| 因为直线l与圆C相切，所以＝2，所以m＝2±22.(10分) 2a2b2c2 C. 证明：因为(a＋b＋c)(＋＋) b＋ca＋ca＋b1a2b2c2＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)](＋＋)(4分) 2b＋ca＋ca＋b1? ≥?a＋b2? c2＋b＋ca＋b a2＋c＋ab＋c b2?21 ＝(a＋b＋c)2，(8分) ?c＋a?2 a2b2c21 所以＋＋≥(a＋b＋c).(10分) b＋ca＋ca＋b2 22. 解：(1) 当ξ＝2时，所取三点是底面ABCD的四个顶点中的任三个， C3424所以P(ξ＝2)＝3＝＝.(2分) C5105(2) ξ的可能取值为2，5，22. 2 P(ξ＝2)＝； 5 42 P(ξ＝5)＝3＝；(4分) C55C112P(ξ＝22)＝3＝.(6分) C55所以ξ的分布列为 ξ P 2 2 55 2 5(8分) 22 1 5 22122＋25＋4 ξ的数学期望为E(ξ)＝2×＋5×＋22×＝.(10分) 5555 23. 解：(1) 取AD中点O，BC中点M，连结OP，OM， 因为PA＝AD，所以OP⊥AD. 因为平面PAD上平面ABCD，OP?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以OP⊥平面ABCD， 所以OP⊥OA，OP⊥OM. 又四边形ABCD是正方形，所以OA⊥OM. 以O为原点，OA，OM，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图，(1分) 1111 则A(，0，0)，D(－，0，0)，B(，1，0)，C(－，1，0). 2222→1→ 设P(0，0，c)(c>0)，则PB＝(，1，－c)，CB＝(1，0，0). 2设平面PBC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，(3分) 1??2x1＋y1－cz1＝0，则?取z＝1，则y＝c，从而n＝(0，c，1). ??x1＝0， 111 →1 设PA与平面PBC所成角为α，因为PA＝(，0，－c)， 2→ |PA·n1|→ 所以sin α＝|cos 〈PA，n1〉|＝＝→ |PA|·|n1| c12 ＋c·c2＋14 ＝ 21， 7 3121 解得c2＝或c2＝，所以PA＝1或PA＝.(5分) 436(2) 由(1)知，PA≥AB＝1，所以PA＝1，c＝ 3 . 2 3 ，1).(6分) 2 由(1)知，平面PBC的一个法向量为n1＝(0，c，1)＝(0， 113→→ 设平面PCE的一个法向量为n2＝(x，y，z)，而CE＝(1，－，0)，PC＝(－，1，－)， 222 ? 所以?取x＝1，则y＝2，z＝13 ?－2x＋y－2z＝0， 设二面角BPCE的平面角为β， 所以|cos β|＝|cos〈n1，n2〉|＝? 1 x－y＝0，2 3，即n2＝(1，2，3).(8分) ?n1·n2?＝23＝ ? ?|n1|·|n2|?7 2×22642＝. 77 根据图形得β为锐角，所以二面角BPCE的余弦值为 42 .(10分) 7