发布时间 : 星期一 文章边缘检测 本科毕业设计论文更新完毕开始阅读5c083bdf5022aaea998f0fbe
重庆邮电大学计算机科学与技术学院本科毕业设计(论文)
拉普拉斯算子在处理时阶跃状边缘和屋顶状边缘有所不同。对于阶跃状的边缘，二阶导数在边缘点处出现零交叉点，在边缘点的两边二阶导数取异号。对于屋顶状的边缘而言，边缘点的二阶导数在边缘点处取极小值，这时对f(x,y)的每个像素取它关于x方向和y方向的二阶差分之和的相反数。针对这两种不同的边缘类型，拉普拉斯算子也给出了两种不同的卷积运算模板，如图3.11：
阶梯状边缘的拉普拉斯卷积运算模板
屋顶状边缘的拉普拉斯卷积运算模板 图3.11 拉普拉斯的两种卷积模板
拉普拉斯算子是二阶导数算子，属于各向同性的运算，即具有旋转不变性。因为在微分学中。一个只包含偶次阶导数和取偶次幂的奇次阶导数的线性组合算子，一定各向同性的[6]。拉普拉斯算子利用差分运算近似代替微分运算，不能完全符合各向同性的性质，这样体现在处理中就是各向边缘处理效果不一致。
拉普拉斯算子是一种二阶导数算子，对图像的噪音相当敏感，并且拉普拉斯算子的幅值会产生双边缘，从而使得边缘的范围很大，并且不能检测出边缘的方向，所以，拉普拉斯算子一般不以其原始形式用于边缘检测。原始形式的拉普拉斯算子主要用于通过它的零交叉点进行边缘的精确定位，在已经知道边缘像素后确定该像素是在边缘的明区还是暗区。
通过拉普拉斯算法的研究，可以发现，拉普拉斯算子的检测中会得到一些不连
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续的边缘。拉普拉斯算子虽然具有各向同性的性质，但是，其检测的边缘方向信息很容易丢失。拉普拉斯算子是一个二阶微分算子，它利用了边缘点处的二阶导函数出现零交叉点的原理检测边缘。拉普拉斯算子对灰度突变比较敏感，可以检测处绝大部分边缘，但很容易丢失边缘、边缘不够连续、对噪音敏感和不能获得边缘方向等等信息。从边缘方向信息和对噪音敏感这两方面入手，人们在原有的拉普拉斯的算法基础上又提出了拉普拉斯的改进算法。在原来的拉普拉斯算法中，人们都是以被检测像素点为中心，做出在其等45°角这8个方向上进行检测的模板，不同仅在于所使用的参数不同。人们在改进的拉普拉斯算法中，提出了如图3.12的新模板：
图3.12 拉普拉斯的改进模板
在这个新模板中，除了原来的方向外，又增加了8个方向，共有在等22.5°角的16个方向上进行检测的模板，并根据拉普拉斯算子的可靠性设定了适当的权值。该新的卷积模板可以提高边缘检测的精度，同时也因为合理的设置了参数而避免了一些伪边缘的提取。图3.13显示了该改进的拉普拉斯算子的实际检测效果。
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血液细胞的原图像 拉普拉斯算子处理后的结果
图3.13 拉普拉斯检测效果比较图
从图3.13的两幅图的比较中，可以看到，拉普拉斯算子确实如上面所分析的一样，对图像中的噪音极为敏感，产生了很多假的边缘点，给图像边缘的检测增添了困难，并且检测出来的边缘不太连贯，有些边缘只是一些离散的点，一些边缘发生了丢失。在处理过程中，拉普拉斯算子的幅值产生双边缘，这是复杂的分割不希望有的结果，所以，拉普拉斯算子一般不直接应用于图像边缘检测。图像边缘的定位准确。在用拉普拉斯算子处理之前，一般需要对处理的原始图像先进行滤波操作。
二、马尔（Marr-Hildreth）算子
马尔算子是在拉普拉斯算子的基础上实现的，在使用拉普拉斯算子进行边缘检测之前，首先使用平滑高斯滤波器对原图像进行平滑操作。因此，马尔算子也称之为LOG(Laplace of Gauss)算子，因为拉普拉斯算子是各向同性的，所以马尔算子也是各向同性的。
马尔算子来源与Marr视觉理论中提出的边缘提取思想。即先对原始图像进行最佳的平滑处理，从而对噪音实现最大的程度的抑制，再对平滑后的图像求取边缘[12]。具体是：首先在一定范围内做平滑滤波，然后利用马尔算子的差分算子检测在相应尺度上的边缘。滤波器的选择有两个决定的因素，一是所选的滤波器在空间上平稳，空间位置误差小；二是要求平滑滤波器本身是带通滤波器，在其有限带通内是平稳的，即频率误差小。但是，空间误差度和频率误差度这两者是相互矛盾，高斯滤波器在调和这两者之间的矛盾上有较好的效果，因此，选用的平滑滤波器是高斯滤波器，这样就得到了LOG算子，也即马尔算子。
均值为零时，一维高斯分布密度函数为：
1x2?(x)?exp[?2]2? （3.19）2??
上式中的?是标准差，对于二维的高斯分布，若两个随机变量的相关系数为零，均值也为零，标准差是?。则二维高斯分布密度函数如下所示：
x2?y2?(x,y)?exp[?] （3.20） 222??2?1其形状是二维空间内倒悬的钟的形状，其中?是高斯函数的空间分布系数，它
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直接决定了下垂的钟壁的斜率，即决定了其开口范围的大小。通过对该函数取拉式变换，也即对高斯函数去二阶方向导数，则得二维的马尔算子的函数形式：
?2G?2G1x2?y2122?G(x,y,?)?2?2?(?1)exp(?(x?y)) （3.21） 422?x?y??2?2?2公式3.6就是马尔算子的函数形式。图像中强度的一个变换在强度函数的一阶导数钟产生一个峰，等价于在二阶导数中产生一个零交叉点，并且强度变化是以不同尺度出现得的[6]。通常用来检测强度变化的滤波器应该具有如下两个特点：一是它应该是一个能对图像做一阶或者二阶导数运算的微分算子；二是它应是可调的，能在任何尺度上进行。这样的话，大滤波器可以用来检测模糊边缘，而小滤波器可以用来检测聚焦良好的图像细节。从图像处理的角度来理解LOG滤波器的物理意义的话，可以用f(x,y)表示一幅灰度图像，用马尔算子对这幅图像进行卷积运算的计算公式为：
f(x,y)??2G(x,y,?)??2[f(x,y)?G(x,y,?)] （3.22）
图像中的边缘点就是图像函数的二阶导数出现零交叉点的位置。所以边缘点的集合可以表示为：
p(x,y)?{(x,y,?)|?2[f(x,y)?G(x,y,?)]?0} （3.23）
高斯函数G(x,y,?)的傅立叶变换和原函数具有相同的曲线形式，所以，它是一个低通滤波器，马尔算子实际上就是一个低通滤波的过程，用于消除空间尺度远小于高斯空间系数的图像强度变化，抑制了噪音，再使用拉普拉斯算子来获取经过平滑之后的图像的二阶方向导数。因为二维高斯函数是关于中心对称的，?2G(x,y,?)呈现的圆对称形状，类似与一顶墨西哥草帽，所以马尔算子又称之为墨西哥草帽滤波器，当公式中的?取不同值时，则可以用马尔算子检测不同尺度下的图像的边缘。但是，因为马尔算子是关于圆对称的，所以无论?如何变化，它在各个方向上的边缘检测尺度都是一样的，但是边缘具有各种角度，所以在不用角度的边缘应该采用不用尺度来进行检测。
根据上述讨论可知，要找出图像任一给定尺度发生的强度变换的最佳方法是：先用算子?2G(x,y,?)对图像进行滤波，再确定滤波处理后的图像中零交叉点的位
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