发布时间 : 星期二 文章二进制小波算法实现 - 图文更新完毕开始阅读5c5a6848f01dc281e53af098
从分辨率的角度，小波变换对时间分辨率和频率分辨率进行了折衷，当尺度参数1/a较小时，分辨率在时域或空间域较低，而在频域较高；如果尺度参数增大，分辨率在时域或空域增加，在频域减小，即在高频端，小波变换在时间上较快，而在低频端，小波变换在频率上较快，如图（2.3）(b)所示。
（a）基函数 （b） 时间-频率分辨率 图2.3 小波变换基函数和时间-频率分辨率
2.4 离散小波变换
在函数族?a,b(x)?1a?(x?ba)中，限制a,b都是离散值，于是得到了
m离散小波。这时，对于固定的伸缩步长a0?1及固定值b0?0，选取a?a0，
mb?nb0a0，这时相应的离散族就是：
?m,n(x)?a0?m2?(x?nb0a0a0mm?m2)?a0?(a0?mx?nb0) (2.9)
若取a0=2，b0=1，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，称这类小波为二进小波。表示为
?m,n(x)?2?m2?(2?mx?n) (2-10)
二进制小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化。因此二进小波变换仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有连续的独特优点。
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第3章 二进制小波变换概念及快速算法
3.1 传统二进制小波变换
一维离散正交小波变换可以很容易地推广到二维情况. 设一维尺度函数为φ( x) , 相应的小波为ψ( x) ,则L2 ( R2 ) 的可分离小波正交基用尺度函数φ( x) 和小波ψ( x) 的可分离乘积构造,即:
（3.1）
以ψ（x，y）=ψ（x）ψ（y） 为基础,Mallat [3 ] 给出了快速的二进
制小波分解算法,该算法简单叙述如下:在所有尺度上,对任意n = ( n1 , n2 ) ,记:
αj[n]=
对任意一维滤波器对y[ n]和z [ n] ,记乘积滤波器y z [ n] = y[ n1 ] z [ n2 ] , y[ m] = y[ - m] ,记h[ m]和g[ m]是与小波ψ关联的共轭镜像滤波器.
在尺度2j + 1上的小波系数可以使用二维可分离卷积及子采样从aj 算出. 对任意n = ( n1 , n2 ) ,可得到如下分解公式;
（3.2）
试中“*”表示卷积. 即:首先aj的行和错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。做卷积,并以因子2 做子采样. 然后将这两个输出图像的列分别和错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。做卷积,再做子采样,就生成了4 个子采样图像aj + 1，aj + 2，aj + 3，aj + 4图像的快速二进制小波变换如图1 所示.
其中, j为对应的尺度; aj + 1为图像的近似表示,即为图像的低频信息;aj + 2为水平方向上的小波系数; aj + 3为垂直方向上的小波系数;aj + 4为对角线方向上的小波系数. 由于图像的边缘信号表现为信号的不连续性,对应着图像中的高频信息,故aj + 1，aj + 2和aj + 3包含着图像的边缘信息,文献[1-2 ]就是利用这3 部分小波系数提取图像边缘的.
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3.2 快速二进制小波算法
小波快速算法是在多分辨率分析(多尺度分析)的基础之上，由S．Mallat在研究图像处理问题时建立起来的，多分辨率分析不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。若?(t?n)为空间
V0?j,n(t)?2?j的正交基,由伸缩规则性
?(2t?n)?j得
2知所有的闭字空间
{Vj}j?Z必为子空间Vj的标准正交基。由多分辨率分析的性质可都是由同一个尺度函数?伸缩后的平移系列张成的尺
度空间，其相互包含关系如图3.1所示，称?(t)为多分辨率的尺度函数。
Mallat算法是由多分辨率分析、尺度函数和小波函数推导而来的，它表明f(t)∈L2(R)可分解为无穷多个小波分量的直和[3]。
小波快速算法包括快速分解和快速重构算法，在MATLAB的小波工具箱中具有小波快速算法的功能，因此可以在计算机上实现测得回波信号的小波快速分解和快速重构。
图3.1 尺度空间相互关系图
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第4章 二进制小波算法实现的应用
4.1 小波变换在图像压缩中的应用
小波变换可以把原始图象分解成不同分辨率的逼近图像和细节图像，而利用小波变换进行图象数据压缩其关键是传输所分解的细节图象，通常细节图象的信息熵较原始图像的信息熵要小得多，且数值分布比较集中在零点附近，因此传输的信息量可以减少，也就是说可以对图象数据进行压缩。
在数字图象处理中，图象通常以数字化的离散样值来表示，一般一幅数字化后的图象的数据量是非常大的，以黑白图象为例，对于一幅N×N(如N×N=256×256)大小的图象，如果每个象素以8bit编码，那么一张黑白图象的数据量为N×N×8bit。如果实时传输一系列的动态图象，例如每秒25帧，那么数据量会更大，为25×N×N×8bit。这样大的数据量在图象的传输、存贮、加工处理等方面都会引起极大的困难。图象数据压缩正是为解决这种大数据量传输和存储问题而提出的一门技术，其主要任务是在保证人们要求的图象质量的前提下，尽量用较少的比特数存储或传输数字图象，从而降低码速率，以便满足数字图象传输时所要求的信道容量及数字图象处理中的存储量要求。图象能够被压缩的根本原因有二：1. 图象相邻象素间存在相关性，图象信号有很大的冗余度，2. 图象的接收者一般是人眼的视觉系统，而人眼的视觉系统对不同频率的信号，敏感度是不同的，对不同方向的图象，敏感度也有很大差异。因此我们可以利用这种特性对人眼视觉系统不敏感的部分进行压缩。
基于Laplacian 金字塔的图像压缩，利用Laplacian金字塔分解的差图像或细节图像去除相关，从而实现图像数据压缩，这就是基于Laplacian金字塔压缩方法的基本原理。我们采用一副典型每个像素为8bit，大小为256×256象素的Lena图象作为原始图象进行系统模拟实验，原始图象如图（4.1）所示，这样我们既可以更好地实现数据压缩，从而说明该方法的具体实现过程。
（a）原始图像 （b）直方图
图4.1原始图像Lena及其直方图
对该图像分别进行4层Gaussian和Laplacian金字塔分解，分解图像分别如图4.2和图4.3
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