发布时间 : 星期四 文章基于小波变换的语音信号去燥技术与实现更新完毕开始阅读5c5f739fdbef5ef7ba0d4a7302768e9951e76ee9
?ej?1t,ej?2t???ej(?1??2)tdt?2??(?1??2) （2.1.4）
X(j?)等于x(t)在这一族基函数上的正交投影，即准确地体现了在这个频率处它
的大小。基函数ej?t在频域上是处于?处的?函数，因此，运用Fourier变换对信号分析其在频域的行为时，它在频率上拥有极好的分辨率。但是， ej?t在时域反应的是一个正弦函数（ej?t?cos?t?jsin?t），因此它在时域上的时间是从??~??，因此，在时域有着最差的时间分辨率。根据测不准原理[3]，两个分辨率不可能一起达到最好，所以傅里叶分析便有局限性。
2.2 窗口傅里叶变换
由于傅里叶变换不能将信号的时域特征和频域特征有机结合起来，Dennis
Gabor 于 1946 年提出了短时傅里叶变换,也称为加窗傅里叶变换。用基函数
gt,?(?)?g(t??)ej?? （2.2.1）
来替换傅立叶变换过程中的基函数ej?t，则 ?x(?),gt,?(?)???x(?),g(t??)ej???
??x(?)g*(t??)e?j??d??STFTx(t,?) (2.2.2) （2.2.2）式表示的是用g(?)沿着时间轴滑动，因此可以不停地截取信号，再对它进行傅立叶变换，即得到的是(t,?)的一个二维函数。g(?)的作用是保持在时域为有限长，它的宽度越窄，则它在时域上的分辨率就越好。在频域上，由于ej?t为一?函数，因此仍可保持较好的频域分辨率。由于g(?)是窗函数，所以它在时域上面是有限的，又由于ej??在频域上是线谱，所以短时傅里叶变换它的基函数g(??t)ej??在时域上和频域上全是有限的。因此，（2.2.2）式的结果便可对x(t)进行时域和频域上的定位功能。
加窗傅里叶变换发展了傅里叶变换，能够满足信号处理的某些特殊需要。但是当窗口函数选定以后，它不能够在高频和低频上作出相应的变化，因此非平
稳信号分析很局限，不适用于分析较宽频带的频谱。通常我们希望在高频信号分析时它的窗口要窄一些，在低频信号进行分析时它的窗口宽一些，小波变换则可以通过自动调节频率的高低和窗口的宽窄，能够满足我们分析的需要。
2.3小波变化
2.3.1小波变换的定义
小波?(t)是一个积分为零的函数
???t?dt?0 （2.3.1）
-??给定一个基本函数?(t)，令 ?a,b(t)?1t?b?() （2.3.2）
aa式中a,b均为常数，且a?0。?a,b(t)是经过基本函数?(t)先进行移位后再进行伸缩得到的。通过a,b的变化，我们可以获得一族函数?a,b(t)。假设给出一个信号
x(t)，它平方可积，即x(t)?L2(R)，则x(t)的小波变换（定义为 WTx(a,b)?1?t?bx(t)?()dt aa?? ??x(t)?a,b(t)dt??x(t),?a,b(t)? （2.3.3）
其中a,b和t都是连续得变量。信号x(t)的小波变换WTx(a,b)是a和b的函数，b是时移，a称为尺度因子。通过平移母小波可得到信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可得到信号在频率上的特性。对母小波进行信号的平移和缩放是为了得出小波的系数，这些系数体现的是小波与局部信号间的联系。
?(t)又称为基本小波（或母小波）。?a,b(t)是母小波经移位和伸缩所产生的一族
函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（2.3.3）式的WT又可解释为信号x(t)和一族小波基的内积。 其反变化定义为：
f(t)?1c?????????W?(j,k)?j,k(t)djdk (2.3.4)
其中
C???是Ψ（t）的傅里叶变化。
|?(w)|dw (2.3.5)
??w?在离散的情况下 ．小波函数的定义为： ?j,k?x??2?j2??2?jx?k? j,k?Z (2.3.6)
[12]
设函数?j,k(k)?L2(IR)，对于任意一个平方和积函数制小波变换定义成函数序列{W2jf(k)}|k?Z，其中，
W2jf(k)?[f(x),?2j(k)]?12jf?L2?IR?， 其二进
?Rf(x)?*(2?jx?k)dx (2.3.7)
小波变换系数W2j(k)给 出 了f( x )的尺度2j在位置 k 处的逼近,其反变换的定义为：
1 f(x)??W2jf(k)*?2j(x)???W2jf(t){j?(2?jx?k)}dk (2.3.8)
2j?Zj?Z
2.3.2小波变换的特点
若?(t)的时间中心是t0，时宽是?t，?(?)的频率中心是?0，带宽是??，
tt?()的频谱a?(a?)的频率中心那么?()的时间中心仍是t0，但时宽变成a?t，
aat变为?0/a，带宽变成??/a。这样，?()的时宽－带宽的积仍旧是?t??，与aa无关。这说明小波变换时域与频域的关系也会有不定原理的约束，另一方面，体现了小波变换很重要的性质，即恒Q性质。它的定义为
Q???/?0=带宽/中心频率 (2.3.9)
t为母小波?(t)的品质因数，对?()，其
a 带宽/中心频率=
??/a???/?0?Q ?0/at因此，不论a为何值(a?0)，?()一直保持着和?(t)一样的品质因数。
a众所周知，信号的高频部分一般对应的时域中快速变化的成份。对这种信号分析的要求是时域分辨率要好，频域上的分辨率可以稍微差些。与此相反，对于低频信号一般是信号中缓慢变化的部分，对与这种信号分析往往希望频率上的分辨率要好，而时间上的分辨率则可以低点。显然，小波变换可以满足这些需要。
根基上面小波变换特点可得到，我们在用比较小的a将信号进行高频分析的时候，是使用高频小波对其进行细微观察，我们在用大的a对信号进行低频分析时候，是使用低频小波对信号进行宏观的观察。
2.3.3多分辨率分析
Mallat给出了对于多分辩率分析[8]的定义：
Vj?j?Z是L2(R)空间中的一系列闭合子空间，假如它们可以满足以下的设?Vj?，j?Z是一个多分辨率近似[8]。六个性质如下： 性质，则说?1.?(j,k)?Z2，若x(t)?Vj则x(t?2jk)?Vj (2.3.10)
该性质说明空间Vj对正比于2j的尺度位移拥有不变的性质，也就是说函数的时移不会改变它所隶属的空间。
2.?j?Z，Vj?Vj?1，即?V0?V1?V2?Vj?Vj?1? （2.3.11)
该性质说明在尺度2j(或j)时，对x(t)作分辩率为2?j的近似，它的结果会包含在比其低一级的分辩率2?j?1的对x(t)近似的信息中
t3.?j?Z，若x(t)?Vj，则x()?Vj?1 (2.3.12)
2该性质是性质2的结果。在Vj?1中，函数进行了两倍的扩展，分辩率降为2?j?1，
t所以x()应属于Vj?1。
24.LimVj??Vj??0? (2.3.13)
j??j????该性质说明当j??时，分辨率2?j?0，这时我们将会失x(t)的全部信息， 5.LimVj?Closure(?Vj)?L2(R) (2.3.14)
j??j????