发布时间 : 星期五 文章2018数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版更新完毕开始阅读5cbc3f4a591b6bd97f192279168884868762b8cb
高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班
平面几何（四点共圆）冲刺讲义
________班_______号 姓名________________
一、知识准备
以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识： 1.欧拉线：
的垂心
，重心
，外心
三点共线.
此线称为欧拉线，且有关系：
2.九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，
以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，
共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆.
①
的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点
的外接圆半径的
②九点圆的半径是
.
3.三角形内心与旁心的性质：的内心为，而边外的旁心分别为，
交
于
； ，则：
分别是三条内角平分线，交三角形外接圆于
①三角形过同一顶点的内、外角平分线互相垂直； ②③④
，
；
（角平分线定理）；
（“鸡爪”定理）.
二、例题分析
例1.是
、
于
的外接圆、
，求证：
的直径，过
.
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作圆的切线交于，连接并延长分别交
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证明：过作
取中点
的平行线分别交、于、，则
，连接、、、.
，四点共圆.
，而由，
而
是
，而
的中点，是.
，有四点共圆. ，
的中点，
例2.等腰梯形
的一点，证明：
中，，．
∥
，
，
分别是的延长线于
，. ，
.
.
.
.
的内心，是直线上
的外接圆交
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证明：
，故
则而所以， 例3. 在是
求证：
中，
，内心为，内切圆在是
关于点的对称点.
，
边上的切点分别为
，
，设
，由此，
．
，因此
共圆，
，
，
关于点的对称点，
四点共圆.
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证明：设直线
交
，则则半周长
的外接圆于点
，易知
的中点为由于于是又所以熟知：所以进而所以
都在以
，即∽
，且相似比为， 。又是
∽的中点
， ．设点
是
的中点，记 上的射影为
，
在直线， ， ，
为圆心的同一个圆周上．
例4.设A、B为圆? 上两点，X为? 在A和B处切线的交点，在圆? 上选取两点C、D使得C、
D、X依次位于同一直线上，且CA⊥BD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为GX的中垂线与BD的交点．证明：X、F、G、H四点共圆． 证明：设O为圆心，AB∩XO = M．
∵ △XOA∽△XAM，∴ OX·XM = XA 2 = XC·XD．
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