发布时间 : 星期一 文章2018数竞平面几何(四点共圆)讲义教师版更新完毕开始阅读5cbc3f4a591b6bd97f192279168884868762b8cb
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∴ O、M、C、D四点共圆． ∴ ∠XMO = ∠OCD = ∠ODC = ∠OMC． ∴ ∠CMG = ∠GMD．
在CM上选取一点E使MX∥DE，则MD = ME．
．
在GX上取点X?，使∠GFD = ∠DFX?，在X?F上取W使CF∥GW．
由得 CG·X?D = X?C·GD．
由上面两式得 = ，故X = X?．∴ ∠GFD = ∠XFD． 又∵ = < 1和∠XPB = ∠CDF < 1．∴ H和B在CX的同一侧． 设H?为直线BF与△GFX外接圆的交点，则 ∠H?XG = ∠H?FG = ∠H?FX = ∠H?GX． ∴ H?G = H?X，∴ H? = H． ∴ X、F、G、H四点共圆，得证．
注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：
易知可得设
为外接圆交
为调和点列，又的平分线，
于
点， ，从而
在
的中垂线上， ，
由“鸡爪”定理知本题得证.
例5.△ABC中，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P，O、H分别为三角形的
外心与垂心．求证：AP⊥OH．
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证明：由∠BMC = ∠BNC = 90?知 B、C、N、M四点共圆．
∴ AM·AB = AN·AC．
又 AE = AB, AF = AC，∴ AM·AE = AN·AF，即E、F、N、M共圆． 注意到由∠AMH = ∠ANH = ∠AEO = ∠AFO = 90?知 AH、AO分别为△AMN、△AEF外接圆的直径．
过AH中点H?与AO中点O?分别为△AMN与△AEF的外心，且易知O?H?∥OH． ∴ 只需证AP⊥O?H?，只需证A、O为△AMN、△AEF外接圆的等幂点即可． 注意到A为两圆公共点，而由E、F、N、M共圆知 PM·PN = PE·PF． 故 P也为等幂点． 综上所述，原命题成立．
例6.设△ABC内接于圆O，过A作切线PD，D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线
PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S．证明：若QR = ST，则PQ =
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UT．
证明：过O作OK⊥PU = K，OF⊥BU = F，连结AK延长交⊙O于另一点E，
过C作CH∥PU交AE于G，交AB于H，连GF、OP、OU、OA、OE． 由垂径定理知BF = FC, QK = KT，且QR = ST． ∴ RK = KS 即K是RS的中点，且CH∥PU． ∴ = = ? = = 1 ? HG = GC． 由中位线定理知 FG ∥ BH．
∴ ∠FGE = ∠BAE = ∠BCE ? F、G、C、E共圆． ∴ ∠EFC = ∠EGC = ∠AGH = ∠UKG． ∴ ∠EFO + ∠OKE = ∠OFC + ∠CFE + ∠OKE
= 90? + ?∠UKG + ∠OKE? = 90? + 90? = 180?．
∴ K、O、F、E四点共圆 … ① 又∵ ∠OKU + ∠OFU = 2×90? = 180?， ∴ K、O、F、U四点共圆 … ②
结合①②知K、O、F、E、U五点共圆，∴ ∠KUO = ∠KEO． 又∵ PA为⊙O切线 ? OA⊥PA，且OK⊥PU ? ∠KEO = ∠KAO． ∴ ∠KPO = ∠KUO ? OP = OU． 又∵ OK⊥PU，∴ PK = UK． 而QK = TU，∴ PQ = UT，得证．
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例7.AB、AC为⊙O切线，ADE为一条割线，M为DE中点，P为一动点，满足M、O、P三点共
线，⊙P为以P点为圆心、PD为半径的圆．证明：C点在△BMP外接圆与⊙P的根轴上．
证明：作PR⊥AC，其延长线交BC延长线于S．
∵ ∠OMA = ∠OBA = ∠OCA = 90?， ∴ A、C、O、M、B五点共圆．
∴ ∠BMP = ∠BMA + 90? = ∠BCA + 90? = 180?－∠RSC． ∴ B、M、P、S四点共圆．
∴ C对△BMP外接圆的幂为 －CB·CS = －2CA·CR． 而C对⊙P的幂为
CP 2－PD 2 = CP 2－?AP 2－AD·AE? = CP 2－AP 2 + AC 2
= CR 2 + RP 2－PR 2－AR 2 + AC 2 = CR 2－?CR + CA? 2 + CA 2 = －2RC·CA．
∴ C点对⊙P的幂等于C点到△BMP外接圆的幂． ∴ C点在上述两圆根轴上，得证．
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