发布时间 : 星期日 文章（五年高考真题）2016届高考数学复习 第十章 第二节 二项式定理及其应用 理（全国通用）更新完毕开始阅读5d18abe7650e52ea54189854
第二节 二项式定理及其应用
考点一 二项展开式中项的系数
1．(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数为( ) A．10
k2
2
5
52
B．20
5－kkC．30 D．60
解析 Tk＋1＝C5(x＋x)
2
2
32
y，∴k＝2.
2r2(3－r)r2
∴C5(x＋x)y的第r＋1项为C5C3x为C5C3＝30. 答案 C
21
xy，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数
2．(2014·四川，2)在x(1＋x)的展开式中，含x项的系数为( ) A．30
B．20
6
2
63
C．15 D．10
2
2
解析 只需求(1＋x)的展开式中含x项的系数即可，而含x项的系数为C6＝15，故选C. 答案 C
?1?23
3．(2014·湖南，4)?x－2y?的展开式中xy的系数是( )
?2?
A．－20
B．－5
C．5
D．20
5
k15－kkk2k－5k5－kk解析 展开式的通项为Tk＋1＝C5(x)·(－2y)＝(－1)·2C5x·y，令5－k＝2，
2
得k＝3.则展开式中xy的系数为(－1)·2答案 A
233
2×3－53
5
C＝－20，故选A.
4．(2013·新课标全国Ⅱ，5)已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为5，则a＝( ) A．－4
B．－3
5
52
C．－2
2
2
1
D．－1
解析 已知(1＋ax)(1＋x)的展开式中x的系数为C5＋a·C5＝5，解得a＝－1，故选D. 答案 D
5．(2012·湖北，5)设a∈Z，且0≤a<13，若51A．0
B．1
2 012
2 012
＋a能被13整除，则a＝( )
D．12
1
2 011
C．11 ＝C2 01252
0
2 012
解析 由于51＝52－1，(52－1)－C2 01252＋…－C2 01252＋1，所以只需
2 0111
1＋a能被13整除，0≤a<13，所以a＝12，选D. 答案 D
6．(2015·北京，9)在(2＋x)的展开式中，x的系数为________(用数字作答)． 解析 展开式通项为：Tr＋1＝C52答案 40
1??2
7．(2015·天津，12)在?x－?的展开式中，x的系数为________．
?4x?1?1?1?6－2r?r6－r?r?解析 ?x－?的展开式的通项Tr＋1＝C6x?－?＝C6?－?x； ?4x??4x??4?当6－2r＝2时，r＝2，所以x的系数为
2
53
r5－rr5－3
x，∴当r＝3时，系数为C3＝40. 5·2
6
6rr?1?15
C?－?＝. ?4?16
26
2
答案
15 16
8
27
8．(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x－y)(x＋y)的展开式中xy的系数为________(用数字填写答案)．
解析 由二项展开式公式可知，含xy的项可表示为x·C8xy－y·C8xy，故(x－y)(x＋
612
y)8的展开式中x2y7的系数为C78－C8＝C8－C8＝8－28＝－20.
27
7
7
626
答案 －20
9．(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x＋a)的展开式中，x的系数为15，则a＝________(用数字作答)． 解析 Tr＋1＝C10x1∴a＝.
21答案
2
10．(2013·四川，11)二项式(x＋y)的展开式中，含xy的项的系数是________(用数字作答)．
解析 设二项式(x＋y)的展开式的通项公式为Tr＋1，则Tr＋1＝C5x5
5
23
10
7
r10－rr3
a，令10－r＝7，得r＝3，∴C310a＝15，即
10×9×831
a＝15，∴a3＝，
3×2×18
r5－r·y，令r＝3，则含
rx2y3的项的系数是C35＝10.
答案 10
11．(2012·浙江，14)若将函数f(x)＝x表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)＋…＋a5(1＋x)，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
5
5
2
解析 由等式两边对应项系数相等，即
a5＝1，??4
?C5a5＋a4＝0，?a3＝10.
3??C35a5＋C4a4＋a3＝0
答案 10
考点二 二项展开式中的常数项
3?x－a?5
1．(2015·湖南，6)已知??的展开式中含x2的项的系数为30，则a＝( )
x??A.3
B．－3
C．6
D．－6
r5?x－a?5r5－rrrrrr5
解析 ??的展开式通项Tr＋1＝C5x2(－1)a·x－2＝(－1)aC5x2－r，令2－rx??
3
＝，则r＝1， 2
131
∴T2＝－aC5x，∴－aC5＝30，∴a＝－6，故选D.
2
答案 D
?3x＋1?n2．(2013·辽宁，7)使得??(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
xx??
A．4
B．5
kC．6
n－kD．7
解析 展开式的通项公式为Tk＋1＝Cn(3x)所以当k＝2时，n有最小值5，选B. 答案 B
5k5k5k?1?kkn－k??＝Cn3xn－2.由n－2＝0得n＝2，?xx?
1?6???x－x?，x<0，?3．(2013·陕西，8)设函数f(x)＝??则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式
?－x，x≥0.中常数项为( ) A．－20
B．20
C．－15
D．15
1?3?－x＋1?6?1－x?63?解析 当x>0时，f[f(x)]＝?常数项为C6??(－?＝??的展开式中，
x??x???x?
x)3＝－20.所以选A.
答案 A
?x＋1?8
4．(2012·重庆，4)??的展开式中常数项为( )
2x??
35
A. 16
B.35 8
kC.35 4
D．105
?1?k?1?kk4－k解析 二项展开式的通项为Tk＋1＝C8(x)??＝??C8x，令4－k＝0，解得k＝4，
?2x??2?
8－k?1?435
所以T5＝??C8＝，故选B.
8?2?
答案 B
4
?x－1?5
?的展开式中常数项为A，则A＝________. 5．(2013·浙江，11)设二项式?3??x??
5－r－r?x－1?5
rr??解析 二项式3?的展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·x2·(－1)·x3＝(－?x??15－5r15－5r3
1)·C5·x6.令＝0，解得r＝3，故展开式的常数项为－C5＝－10，故A为－
6
rr10. 答案 －10
考点三 二项式定理的综合应用
1．(2015·陕西，4)二项式(x＋1)(n∈N＋)的展开式中x的系数为15，则n＝( ) A．4
B．5
n－2
n－2
2
n2
C．6 D．7
解析 由题意易得：Cn＝15，Cn＝Cn＝15，即答案 C
n（n－1）
2
＝15，解得n＝6.
a?1?2．(2014·湖北，2)若二项式?2x＋?的展开式中3的系数是84，则实数a＝( ) x?x?
5
B.4
2 4
7
A．2 C．1 D.
1?a?7－rrr255
解析 Tr＋1＝C7·(2x)·??＝2C7a·2r－7.令2r－7＝3，则r＝5.由2·C7a＝84得
x?x?
r7－rra＝1，故选C.
答案 C