发布时间 : 星期日 文章3.2.3 空间的角的计算 学案1 2017-2018学年高中数学选修2-1 苏教版更新完毕开始阅读5d307940001ca300a6c30c22590102020740f27b
3.2.3 空间的角的计算
学习目标 1．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题． 2．能运用向量法求各种距离． 3．体会空间向量解决立体几何问题的三步曲. 重点、难点 重点：1．向量法求空间角的大小； 2．向量法求点到面的距离． 难点：1．空间角与向量的应用； 2．转化思想在各种距离求法中的应用. 1．两条异面直线所成的角
(1)范围：两异面直线所成的角θ的取值范围是____．
(2)向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos φ＝|cos〈a，b〉|＝______________.
预习交流1
(1)两条异面直线所成的角就是它们的方向向量的夹角吗？ (2)已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2,1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2,0)，则两直线所夹角的余弦值为__________．
2．直线与平面所成的角
(1)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是______．
(2)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝______＝________________.
预习交流2
直线与平面所成的角θ和直线方向向量与平面法向量的夹角有什么关系？ 3．二面角
(1)二面角的取值范围是________． (2)二面角的向量求法：
若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的平面角的大小就是__________(如图甲)．
设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的__________的大小就是二面角的平面角的大小(如图乙丙)．
预习交流3
二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，如何去掉|cos θ|中的绝对值号？
4．利用空间向量求空间距离
????2????????(1)利用AB?AB?AB可以求空间中有向线段的长度． ????????????|BO|=|AB||cos〈AB，n〉|=_______________.
(2)点面距离的求法
已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为
预习交流4
已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为__________．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点
一、求异面直线所成的角
如图所示，已知ABCA1B1C1是直三棱柱，∠ACB=90°，点D1，F1分别是A1B1，A1C1
的中点，BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值．
?????????
思路分析：建立空间直角坐标系，求BD1与AF1的夹角．
已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB和直线CD所成角的余弦值为__________．
利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论
证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通
π
0，?，两过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是??2?
向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以要注意二者的联系与区别，应有cos θ＝|cos α|.
二、求直线与平面所成的角
棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，求AA1与平面AD1E所成角的正弦值．
思路分析：建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用平面AD1E的法向量求线面角．
在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是BC，A′D′的中点． (1)求证四边形B′EDF为菱形；
(2)求直线AD与平面B′EDF所成的角的正弦值．
利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤为：
(1)建立空间直角坐标系；
????(2)求直线的方向向量AB；
(3)求平面的法向量n；
????n?AB(4)设线面角为θ，则sin θ＝????.
nAB三、求二面角的平面角
如图所示，在正方体ABEF－DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，求平面MNA与平面MNB所成锐二面角的余弦值．
思路分析：解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．
已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求二面角A－PB－C的余弦值． (1)利用空间向量求二面角可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2，则二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．
(2)利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角． 四、求点到平面的距离
如图所示，已知ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是AD，AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面且GC=2，求点B到面EFG的距离．
思路分析：求点到平面的距离，一般方法是先由该点向平面引垂线确定垂足，把点到面的距离转化为解三角形求解，需要作辅助线，然后通过逻辑推理论证及计算，这样比较麻烦，而用向量法则较为简便．
已知空间四点A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距离是________．
(1)求点到平面的距离时，关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出平面
的一个法向量，然后通过公式代入求解．
(2)求点到平面距离时也可将上述方法改变为：①求出平面的单位法向量n0；②任取一条过法向量与平面交点的该平面的一条斜线段，求出其向量坐标n1；③求出n0与n1的数量积的绝对值，即得点到平面的距离d＝|n0·n1|，其中单位法向量由法向量除以它的模得到，斜线段可以任取，但必须经过法向量与平面的交点．
(3)求点到平面的距离还可以利用等体积法进行求解．
1．平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是__________．
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为__________．
3．若一个二面角的两个面的法向量分别为m＝(0,0,3)，n＝(8,9,2)，则这个锐二面角θ的余弦值为________．
4．直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°，则直线l与平面α所成的角等于__________．
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点A到平面B1D1DB的距离为__________．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记． 知识精华 技能要领 答案： 课前预习导学
π|a·b|0，? (2)1．(1)? ?2?|a||b|
预习交流1：(1)提示：不是，两条异面直线所成的角只能是锐角或直角．而它们的方向向量的夹角可能是锐角或直角，也可能是钝角．当两方向向量的夹角是钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．
|a·b|
(2)提示：|cos〈a，b〉|＝ |a||b|
|2×1＋2×2＋1×0|63＝2＝＝.
1＋4＋12·4＋4＋0432
π|a·u|0，? (2)|cos φ| 2．(1)?或cos θ＝sin φ ?2?|a||u|
预习交流2：提示：直线方向向量与平面法向量所夹的锐角α和直线与平面所成的角θ
π
互为余角，即θ＝－α.因此sin θ＝cos α.
2
????????3．(1)[0，π] (2)向量AB与CD的夹角 夹角(或其补角)
????AB?nn预习交流3：提示：当n1，n2所在的角与θ相等时，|cos θ|＝cos〈n1，n2〉；当n1，n2
所成角与θ互补时，|cos θ|＝－cos〈n1，n2〉．
4．(2)