发布时间 : 星期三 文章黑龙江省双鸭山一中2012-2013学年高二数学上学期期中试题 文（含解析）新人教A版更新完毕开始阅读5d387967ed630b1c58eeb51b
∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==， 整理得：m+n=， 令直线l解析式中y=0，解得：x=， ∴A（，0），即OA=令x=0，解得：y=， ∴B（0，），即OB=2222， ， ∵m+n≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号， ∴|mn|≤， 又△AOB为直角三角形， ∴S△ABC=OA?OB=≥=3， 则△AOB面积的最小值为3． 故答案为：3 点评： 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题． 三、解答题（包括17-22题，共70分） 17．（10分）（2011?江西模拟）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）?[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．
考点： 频率分布直方图．.
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专题： 计算题；图表型． 分析： （1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可； （2）60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可． 解答： 解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015*2+0.01+0.005）*10=0.3 （Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75% 利用组中值估算抽样学生的平均分45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6 =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 估计这次考试的平均分是71． 点评： 本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识． 22
18．（12分）已知圆C：x+y﹣4x﹣6y+12=0，求过点A（3，5）的圆的切线方程． 考点： 直线与圆的位置关系．. 专题： 直线与圆． 分析： 由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径， 解出k，可得切线方程． 2222解答： 解：圆C：x+y﹣4x﹣6y+12=0，即 （x﹣2）+（y﹣3）=1，表示以（2，3）为圆心，半径等于1的圆． 由于点A（3，5）到圆心的距离等于=，大于半径1，故点A在圆的外部． 当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意． 当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为 y﹣5=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+5=0， 所以，圆心到切线的距离等于半径，即 =1，解得k=﹣，此时，切 10
线为3x+4y+11=0． 综上可得，圆的切线方程为 x=3，或3x+4y+11=0． 点评： 本题考查求圆的切线方程得方法，注意切线的斜率不存在的情况，属于中档题． 22
19．（12分）若a∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]，求关于x的方程x+ax+b=0有实根的概率． 考点： 几何概型．. 专题： 计算题． 22分析： 这是一个几何概型问题，关于x的方程x+ax+b=0有实根根据判别式大于等于零，可以得到a和b之间的关系，写出对应的集合，做出面积，得到概率． 解答： 解：∵﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1， 事件对应的集合是Ω={（a，b）|﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1} 对应的面积是sΩ=4， 22∵关于x的方程x+ax+b=0有实根， 22∴a﹣4b≥0 （a+2b）（a﹣2b）≥0， 事件对应的集合是A={（a，b）|﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，（a+2b）（a﹣2b）≥0} 对应的图形的面积是：sA=2××1×1=1 ∴P=， 故关于x的方程x+ax+b=0有实根的概率为：． 点评： 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到． 22
20．（12分）设命题p：实数x满足x﹣4ax+3a＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足
．若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的真假判断与应用．. 专题： 不等式的解法及应用． 22分析： 由题意可得q是命题p的充分不必要条件，设A={x|x﹣4ax+3a＜0，a＞0}，B={x| }，则由题意可得B?A，化简A、B，根据区间端点间的大小关22系， 求得实数a的取值范围． 解答： 解：若￢p是￢q的充分不必要条件，∴命题 q是命题p的充分不必要条件． 设A={x|x﹣4ax+3a＜0，a＞0}={x|a＜x＜3a}，B={x|22 }={x|2＜ 11
x≤3}，则由题意可得B?A． ∴，解得 1＜a≤2， 故实数a的取值范围为（1，2]． 点评： 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题． 21．（12分）（2011?安徽模拟）一个均匀的正四面体面上分别涂有1、2、3、4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b、c．
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（Ⅰ）记z=（b﹣3）+（c﹣3），求z=4的概率；
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（Ⅱ）若方程x﹣bx﹣c=0至少有一根a∈1，2，3，4，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率． 考点： 等可能事件的概率．. 专题： 计算题． 分析： （I）由于我们要将均匀的面上分别涂有1、2、3、4四个数字的正四面体随机投掷两次，故基本事件共有4×4=16个，然后求出z=4时，基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到结果． （II）分类讨论方程根分别为1，2，3，5时，基本事件的个数，然后代入古典概型公式即可得到结果． 解答： 解：（Ⅰ）因为是投掷两次，因此基本事件（b，c）共有4×4=16个 当z=4时，（b，c）的所有取值为（1，3）、（3，1） 所以 （Ⅱ）①若方程一根为x=1，则1﹣b﹣c=0，即b+c=1，不成立． ②若方程一根为x=2，则4﹣2b﹣c=0，即2b+c=4，所以③若方程一根为x=3，则9﹣3b﹣c=0，即3b+c=9，所以④若方程一根为x=4，则16﹣4b﹣c=0，即4b+c=16，所以． ． ． 综合①②③④知，（b，c）的所有可能取值为（1，2）、（2，3）、（3，4） 所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为 点评： 本题考查的知识是等可能性事件的概率，求出基本事件的总数和满足某个事件的基本事件个数是解答本题的关键．
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