发布时间 : 星期三 文章五年级100题更新完毕开始阅读5d6e38a95022aaea988f0f56
55、某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水4吨以下,每吨1.80元;当超过4吨时,超过部分每吨3.00元。某月甲乙两户共交水费26.40元,用水量之比为5:3,问:甲乙两户各应交水费多少元?
【解】(1)2640不能被180整除,可见必有用户超过4吨。
(2)如果都超过4吨,则先扣除8×1.80=14.40元,有26.40-14.40=12元。可见超过的水量为12/3=4吨。总用水量便是8+4=12吨。而甲乙的用水比5:3,5份和3份合起来是8份,对应12吨,则甲用了12/8×5=7.5吨,乙用了12/8×3=4.5吨。符合要求。 (3)如果有乙没有到4吨,甲超过了4吨。分析一个极端的情况再去作比较:乙用了4吨,甲用了4×5/3=20/3=4+8/3吨。此时需交水费8×1.80+8/3×3=22.40元。如果和这种情况比较,乙用了不到4吨,则水费只能是更少,矛盾。综上,甲应该交4×1.80+3.5×3=7.2+10.5=17.7元。乙应该交26.40-17.7=8.7元。
56、一小、二小两校春游的人数都是10的整数倍,出行时两校人员不合乘一辆车,且每辆车尽量坐满。现在知道,若两校都租用14座位的旅游车,则两校共需租用这种车72辆;若两校都租用19座的旅游车,则二小要比一小多租用这种车7辆。问两校参加这次春游的人数各是多少?
解:14×71=994<两校总人数<14×72=1008,因为是10的整数倍,所以总人数为1000人;
二小比一小多租用7辆(19座),6×19+1=115<二小比一小多的人数<8×19-1=151,可能的情况有:120、130、140、150;
如为120,则一小有(1000-120)÷2=440,二小有560人;
如为130,则一小有(1000-130)÷2=435,二小有565人,不符; 如为140,则一小有(1000-140)÷2=430,二小有570人;
如为150,则一小有(1000-150)÷2=425,二小有575人,不符; 检验得到一小430人,二小570人。
答:这次春游人数一小是430人,二小是570人。
57、食堂买来5只羊,每次取出两只合称一次重量,得到10种不同重量(单位:千克):
47,50,51,52,53,54,55,57,58,59。问:这五只羊各重多少千克?
【解】(1)可以设定羊的重量从轻到重为A,B,C,D,E。则A+B=47,D+E=59。 同时不难整体分析得到A+B+C+D+E=(47+50+51+52+53+54+55+57+58+59)÷4=134千克。则C=134-47-59=28千克。
(2)不难有A+C=50。E+C=58。则A=22千克;E=30千克。B=25千克,D=29千克。
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58、假设n是自然数,d是2n的正约数.证明:n+d不是完全平方.
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【证明】 设2n=kd,k是正整数,如果 n+d是整数 x的平方,那么kx=k(n+d)=22222222n(k+2k)但这是不可能的,因为kx与n都是完全平方,而由k<k+2k<(k+1)
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得出k+2k不是平方数.
59、求一个四位数,它的前两位数字及后两位数字分别相同,而该数本身等于一个整数的平方.
【解】设所求的四位数为x?aabb,则x=1000a+100a+10b+b=11(100a+b)其中0<a?9,0?b?9.可见平方数x被11整除,从而x被112整除.因此,数100a+b=99a+(a+b)能被11整除,于是a+b能被11整除.但0<a+b?18,以a+b=11.于是x=112(9a+1),由此可知9a+1是某个自然数的平方.对a=1,2,?,9逐一检验,易知仅a=7时,9a+1为平方数,故所求的四位数是7744=882.
60、从自然数1,2,3,?,1000中,最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除? 【解】:设a,b,c,d是所取出的数中的任意4个数,则a+b+c=18m,a+b+d=18n,其中m,n是自然数。于是c-d=18(m-n)。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数,即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r,则a=18a1+r,b=18b1+r,c=18c1+r,其中a1,b1,c1是整数。于是 a+b+c=18(a1+b1+c1)+3r。因为18|(a+b+c),所以18|3r,即6|r,推知r=0,6,12。因为1000=55×18+10,所以,从1,2,?,1000中可取6,24,42,?,996共56个数,它们中的任意3个数之和能被18整除。
61、现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?
【解】只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。
62、求一个最大的完全平方数,在划掉它的最后两位数后,仍得到一个完全平方(假定划掉的两个数字中的一个非零).
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【解】设 n满足条件,令n=100a+b,其中 0<b<100.于是 n>10a,即 n?10a+1.
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因此b=n100a?20a+1 由此得20a+1<100,所以a?4. 经验算,仅当a=4时,n
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=41满足条件.若n>41则n-40?42-40>100.因此,满足条件的最大的完全平方数
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为41=1681.
63、当44444444写成十进制数时,它的各位数字之和是A,而B是A的各位数字之和,求B的各位数字之和(所有的数都是十进制数).
【解】 因为44444444的位数不超过4×4444=17776,所以A?177760,B?1+5×9=46,B的数字和C?4+9=13由于一个数与它的数字和mod 9同余,所以C≡B≡A≡44444444≡74444=(73)1481×7≡11781×7≡7(mod 9)故C=7,即数B的各位数字之和是7.
64、在1-600中,恰好有3个约数的数有几个?
【解】我们只需要注意到有3个约数的数一定是质数的完全平方2,3,5,7,11,13,17,19,23这9个数的平方数在1-600之间,共有9个符合要求
65、 写出12个都是合数的连续自然数。 【解1】分析:在寻找质数的过程中,我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数:90,91,92,93,94,95,96。我们把筛选法继续运用下去,把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数:114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126。
【解2】分析:如果12个连续自然数中,第1个是2的倍数,第2个是3的倍数,第3个是4的倍数??第12个是13的倍数,那么这12个数就都是合数。又m+2,m+3,?,m+13是12个连续整数,故只要m是2,3,?,13的公倍数,这12个连续整数就一定都是合数。 设m为2,3,4,?,13这12个数的最小公倍数。m+2,m+3,m+4,?,m+13分别是2的倍数,3的倍数,4的倍数??13的倍数,因此12个数都是合数。说明:我们还可以写出13!+2,13!+3,?,13!+13(其中n!=1×2×3×?×n)这12个连续合数来。同样,(m+1)!+2,(m+1)!+3,?,(m+1)!+m+1是m个连续的合数。
66、求1,2,3,?,9999998,9999999这9999999个数中所有数码的和。
【解】在这些数前面添一个数0,并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对,因为0与9999999,1与9999998,?,4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63。这里共有5000000对,故所有数码的和是63×5000000=315000000。
67、某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”。例如号码 0734,因 0+7=3+4,所以这个号码的购物券是幸运券。试说明,这个商场所发的购物券中,所有幸运券的号码之和能被101整除。
【解】显然,号码为9999的是幸运券,除这张幸运券外,如果某个号码n是幸运券,那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数,所以m≠n。由于m+n=9999,相加时不出现进位,所以除去号码是9999这张幸运券之外,其余所有幸运券可全部两两配对,而每一对两个号码之和均为9999,即所有幸运券号码之和是9999的倍数。因为9999=99×101,所以所有幸运券号码之和能被101整除。
68、一个两位数,其十位与个位上的数字交换以后,所得的两位数比原来小27,则满足条件的两位数共有______个. 【解】原两位数为10a+b,则交换个位与十位以后,新两位数为10b+a,两者之差为(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)=27,即a-b=3,a、b为一位自然数,即96,85,74,63,52,41满足条件.
69、有些自然数,它们除以7的余数与除以8的商和等于26,那么所有这样的自然数的和
是多少? 【解】:若除以7余0,那么除以8的商是26,则该数为26*8+2=210 若除以7余1,那么除以8的商是25,则该数为25*8+4=204 若除以7余2,那么除以8的商是24,则该数为24*8+6=198 若除以7余3,那么除以8的商是23,则该数为23*8+1=185 若除以7余4,那么除以8的商是22,则该数为22*8+3=179 若除以7余5,那么除以8的商是21,则该数为21*8+5=173
若除以7余6,那么除以8的商是20,则该数为20*8=160 或20*8+7=167 因此所有这样自然数的和是1476
70、袋子里有三种球,分别标有数字2,3和5,小明从中摸出几个球,它们的数字之和是43。问:小明最多摸出几个标有数字2的球?
【解】设摸出标有数字2,3和5的球分别为x,y,z个,于是有
x+y+z=12 ①
2x+3y+5z=43 ② 5×①-②,得 3z+2y=17 ③ 由于x,y都是正整数,因此在③中,y取1时.x取最大值5。
71、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚,已知7个大和尚每天共吃41个馒头,29个小和尚每天共吃11个馒头,平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问:庙里至少有多少个和尚?
【解】设有7x个大和尚,29y个小和尚,则共吃(41x+lly)个馒头。由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”,可列方程 7x+29y=41x+1ly.
化简为9x=17y。当x=9,y=17时和尚最少,有
7×9+29×17=556(个)。
72、把2001拆成两个数的和,一个是11的倍数(要尽量小),一个是13的倍数(要大),
求这两个数。
【解】这是一道整数分拆的常规题。可列式11X+13Y=2001,要让Y取最大值,可把式子变形为Y=
2001?11X13?153?12?13X?2X12?2X?153?X?=,当X=7时,Y=146。
131313则的拆的两个数一是7×11=77,146×13=1924。这种不定方程的变形求解是较实用的方法。 或者直接把2001除以13余12,12不是11的倍数,只能退出若干个13,与余数合起来是25,38,51,64,77,直到出现11的倍数77为止。