发布时间 : 星期三 文章五年级100题更新完毕开始阅读5d6e38a95022aaea988f0f56
55、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.80元；当超过4吨时，超过部分每吨3.00元。某月甲乙两户共交水费26.40元，用水量之比为5：3，问：甲乙两户各应交水费多少元？
【解】（1）2640不能被180整除，可见必有用户超过4吨。
（2）如果都超过4吨，则先扣除8×1.80＝14.40元，有26.40－14.40＝12元。可见超过的水量为12/3＝4吨。总用水量便是8＋4＝12吨。而甲乙的用水比5：3，5份和3份合起来是8份，对应12吨，则甲用了12/8×5＝7.5吨，乙用了12/8×3＝4.5吨。符合要求。 （3）如果有乙没有到4吨，甲超过了4吨。分析一个极端的情况再去作比较：乙用了4吨，甲用了4×5/3＝20/3＝4＋8/3吨。此时需交水费8×1.80＋8/3×3＝22.40元。如果和这种情况比较，乙用了不到4吨，则水费只能是更少，矛盾。综上，甲应该交4×1.80＋3.5×3＝7.2＋10.5＝17.7元。乙应该交26.40－17.7＝8.7元。
56、一小、二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满。现在知道，若两校都租用14座位的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都租用19座的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆。问两校参加这次春游的人数各是多少？
解：14×71=994<两校总人数<14×72=1008，因为是10的整数倍，所以总人数为1000人；
二小比一小多租用7辆（19座），6×19+1=115<二小比一小多的人数<8×19-1=151，可能的情况有：120、130、140、150；
如为120，则一小有（1000-120）÷2=440，二小有560人；
如为130，则一小有（1000-130）÷2=435，二小有565人，不符； 如为140，则一小有（1000-140）÷2=430，二小有570人；
如为150，则一小有（1000-150）÷2=425，二小有575人，不符； 检验得到一小430人，二小570人。
答：这次春游人数一小是430人，二小是570人。
57、食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：
47，50，51，52，53，54，55，57，58，59。问：这五只羊各重多少千克？
【解】（1）可以设定羊的重量从轻到重为A，B，C，D，E。则A＋B＝47，D＋E＝59。 同时不难整体分析得到A＋B＋C＋D＋E＝（47＋50＋51＋52＋53＋54＋55＋57＋58＋59）÷4＝134千克。则C＝134－47－59＝28千克。
（2）不难有A＋C＝50。E＋C＝58。则A＝22千克；E＝30千克。B＝25千克，D＝29千克。
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58、假设n是自然数，d是2n的正约数．证明：n＋d不是完全平方．
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【证明】 设2n＝kd，k是正整数，如果 n＋d是整数 x的平方，那么kx＝k（n＋d）＝22222222n（k＋2k）但这是不可能的，因为kx与n都是完全平方，而由k＜k＋2k＜（k＋1）
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得出k＋2k不是平方数．
59、求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．
【解】设所求的四位数为x?aabb，则x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b）其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，?，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．
60、从自然数1，2，3，?，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？ 【解】：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然数。于是c-d=18（m-n）。上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同。设这个余数为r，则a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，其中a1，b1，c1是整数。于是 a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。因为18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因为1000=55×18+10，所以，从1，2，?，1000中可取6，24，42，?，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除。
61、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
【解】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。
62、求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假定划掉的两个数字中的一个非零）．
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【解】设 n满足条件，令n＝100a＋b，其中 0＜b＜100．于是 n＞10a，即 n?10a＋1．
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因此b＝n100a?20a＋1 由此得20a＋1＜100，所以a?4． 经验算，仅当a＝4时，n
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＝41满足条件．若n＞41则n－40?42－40＞100．因此，满足条件的最大的完全平方数
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为41＝1681．
63、当44444444写成十进制数时，它的各位数字之和是A，而B是A的各位数字之和，求B的各位数字之和（所有的数都是十进制数）．
【解】 因为44444444的位数不超过4×4444＝17776，所以A?177760，B?1＋5×9＝46，B的数字和C?4＋9＝13由于一个数与它的数字和mod 9同余，所以C≡B≡A≡44444444≡74444＝（73）1481×7≡11781×7≡7（mod 9）故C＝7，即数B的各位数字之和是7．
64、在1-600中，恰好有3个约数的数有几个？
【解】我们只需要注意到有3个约数的数一定是质数的完全平方2,3,5,7,11,13,17,19,23这9个数的平方数在1-600之间，共有9个符合要求
65、 写出12个都是合数的连续自然数。 【解1】分析：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。
【解2】分析：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数??第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。又m+2，m+3，?，m+13是12个连续整数，故只要m是2，3，?，13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数。 设m为2，3，4，?，13这12个数的最小公倍数。m+2，m+3，m+4，?，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数??13的倍数，因此12个数都是合数。说明:我们还可以写出13！+2，13！+3，?，13！+13（其中n！=1×2×3×?×n）这12个连续合数来。同样，（m+1）！+2，（m+1）！+3，?，（m+1）！+m+1是m个连续的合数。
66、求1，2，3，?，9999998，9999999这9999999个数中所有数码的和。
【解】在这些数前面添一个数0，并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对，因为0与9999999，1与9999998，?，4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63。这里共有5000000对，故所有数码的和是63×5000000=315000000。
67、某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码 0734，因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
【解】显然，号码为9999的是幸运券，除这张幸运券外，如果某个号码n是幸运券，那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数，所以m≠n。由于m+n=9999，相加时不出现进位，所以除去号码是9999这张幸运券之外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的倍数。因为9999=99×101，所以所有幸运券号码之和能被101整除。
68、一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个． 【解】原两位数为10a+b，则交换个位与十位以后，新两位数为10b+a，两者之差为（10a+b）-（10b+a）=9（a-b）=27，即a-b=3，a、b为一位自然数，即96，85，74，63，52，41满足条件．
69、有些自然数，它们除以7的余数与除以8的商和等于26，那么所有这样的自然数的和
是多少? 【解】：若除以7余0，那么除以8的商是26，则该数为26*8+2=210 若除以7余1，那么除以8的商是25，则该数为25*8+4=204 若除以7余2，那么除以8的商是24，则该数为24*8+6=198 若除以7余3，那么除以8的商是23，则该数为23*8+1=185 若除以7余4，那么除以8的商是22，则该数为22*8+3=179 若除以7余5，那么除以8的商是21，则该数为21*8+5=173
若除以7余6，那么除以8的商是20，则该数为20*8=160 或20*8+7=167 因此所有这样自然数的和是1476
70、袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出几个球，它们的数字之和是43。问：小明最多摸出几个标有数字2的球?
【解】设摸出标有数字2，3和5的球分别为x,y，z个，于是有
x+y+z=12 ①
2x+3y+5z=43 ② 5×①-②，得 3z+2y=17 ③ 由于x，y都是正整数，因此在③中，y取1时．x取最大值5。
71、庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头。问：庙里至少有多少个和尚?
【解】设有7x个大和尚，29y个小和尚，则共吃(41x+lly)个馒头。由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程 7x+29y=41x+1ly．
化简为9x=17y。当x=9，y=17时和尚最少，有
7×9+29×17=556(个)。
72、把2001拆成两个数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要大），
求这两个数。
【解】这是一道整数分拆的常规题。可列式11X+13Y=2001，要让Y取最大值，可把式子变形为Y=
2001?11X13?153?12?13X?2X12?2X?153?X?=，当X=7时，Y=146。
131313则的拆的两个数一是7×11=77，146×13=1924。这种不定方程的变形求解是较实用的方法。 或者直接把2001除以13余12，12不是11的倍数，只能退出若干个13，与余数合起来是25，38，51，64，77，直到出现11的倍数77为止。