发布时间 : 星期六 文章高一数学春季尖子 班讲义第2讲 等差数列深入 教师版 尖子班更新完毕开始阅读5d72980c4a2fb4daa58da0116c175f0e7cd11906
【例2】 ⑴
已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，若【追问】
a3?______． b5An2n?3a，则5?_____． ?Bn3n?1b5⑵
已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且
An7n?45a，则使得n为?Bnn?3bn整数的正整数n的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5 21【解析】 ⑴；
261【追问】；
2⑵ D
考点3：等差数列的性质（三）
<教师备案> 两个等差数列的线性运算仍然构成等差数列．当其中一个数列是常数列时，得到一个特殊
情形，即{?an??}（?，?为常数）为等差数列．
知识点睛
等差数列?an?的性质（三）（其中{an}的公差为d，前n项和为Sn）：
⑹若?an?和?bn?均为等差数列，则??an??bn?（?，?为常数）也是等差数列．
经典精讲
【例3】 ⑴
⑵
设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1?b1?7，a3?b3?21，则a5?b5?_____． 设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1?b1?5，a100?3b100?100，则数列{an?3bn}的前
100项之和S100等于______．
⑶
已知数列{an}中，a1??3，a2?4，an?2?an?1，则数列{an}的前200项的和S200?____． 2【解析】 ⑴35；
⑵6000；
⑶5050；
考点4：等差数列的性质（四）
<教师备案> 等差数列的连续n项的和仍然构成等差数列．这可以认为是性质⑶与⑹的推论．即
a1，an?1，a2n?1，L；a2，an?2，a2n?2，L；……；an，a2n，a3n，L是等差数列，故它们的
L为等差数列． 和数列也是等差数列，即Sn，S2n?Sn，S3n?S2n，
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第2讲·尖子班·教师版
知识点睛
等差数列?an?的性质（四）（其中{an}的公差为d，前n项和为Sn）：
⑺ 等差数列的n项和也构成一个等差数列，即Sn， S2n?Sn，S3n?S2n，LL为等差数列，公差为n2d．
经典精讲
【例4】 ⑴
⑵
设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若S4?16，S8?64，则S12?_____． 设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若S5?30，S15?150，则S10?_____．
【解析】 ⑴ 144；
⑵80；
考点5：等差数列的性质（五）
?S?<教师备案>这个性质直接利用前n项和公式就可得到，其中{an}为等差数列??n?是等差数列．
?n?知识点睛
等差数列?an?的性质（五）（其中{an}的公差为d，前n项和为Sn）：
Sdd?d?S??⑻若?an?为等差数列，则?n?是等差数列，公差为，且n?n??a1??．
n22?2??n?
经典精讲
【例5】 ⑴
⑵
等差数列?an?中，a1??2013，其前n项的和为Sn．若
S2007S2005则S2013?______； ??2，
20072005设{an}是等差数列，Sn为其前n项的和，已知S5?5，S15?90，则S20?______，数列?Sn??? 的前n项和Tn?_______． ?n?【解析】 ⑴ ?2013；
n2?5n⑵ 170，；
2
考点6：等差数列的性质（六）
知识点睛
等差数列?an?的性质（六）（其中{an}的公差为d，前n项和为Sn）：
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⑼用函数的观点看等差数列的通项公式与前n项和公式： an?dn?(a1?d)，d?0时，an是关于n的一次函数；
d2?d?n??a1??n，d?0时，Sn是关于n的常数项为零的二次函数，可以考虑二次函数的对称22??性与最值．同样，若Sn?An2?Bn，则{an}一定是等差数列． Sn?
<教师备案>第⑼个性质有一些有意思的推论：如：
①等差数列{an}中，am?n，an?m，则am?n?0；
②等差数列{an}的前n项和记为Sn，若p?q，Sp?Sq，则Sp?q?0．
③等差数列{an}的前n项和记为Sn，若p?q，Sp?q，Sq?p，则Sp?q??(p?q)． 从函数观点给出简单证明（当然也都可以直接用公式给出证明）：
①点(n，an)在一条直线上，(m，n)，(n，m)在此直线上，故直线的斜率为?1， 即直线方程为x?y?m?n，故(m?n，0)在此直线上，即am?n?0； ②点(n，Sn)在过原点的一条抛物线上，由Sp?Sq知，此抛物线的对称轴为x?从而Sp?q?S0?0；
③考虑数列{an?1}，它的前n项和记为Tn，则Tp?Sp?p?q?p，Tq?Sq?q?p?q?Tp， 由②知，Tp?q?0?Sp?q?p?q，故Sp?q??p?q．
p?q， 2经典精讲
【例6】 ⑴
等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问数列的多少项之和最大，并求此最大值． 【追问】如果是S9?S16呢？ ⑵
等差数列{an}中，Sn为其前n项和，且S6?S7，S7?S8，则下列说法正确的是______． ①此数列公差d?0；②S9一定小于S6；
③S7一定是Sn中的最大值；④a7是各项中最大一项．
【解析】 ⑴法一：
数列的前13项的和最大， S13?169．
【追问】S12或S13最大，最大值为⑵①②③正确．
875 2【点评】 等差数列前n项和的最大值，最小值问题：
⑴对于等差数列?an?，
①a1?0，d?0时，Sn有最大值；②a1?0，d?0时，Sn有最小值．
⑵求Sn最值的方法
n(n?1)dd①Sn?na1?d?n2?(a1?)n，
222将求Sn的最值转化成二次函数的最值问题，结合图象或通过配方法找到最值，要注意这
里Sn中的n?N*； 20
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②在等差数列{an}单调时，
?an≥0?an≤0若?，则Sn有最大值；若?，则Sn有最小值．
a≤0a≥0?n?1?n?1 [拓展]
等差数列?an?中，a10?0，a11?0且a11?|a10|，Sn为其前n项和，则（ ） A．S10小于0，S11大于0 B．S19小于0，S20大于0 C．S5小于0，S6大于0 D．S20小于0，S21大于0
【解析】 B
2.2 等差数列的判定
考点7：等差数列的判定
知识点睛
等差数列的常用判定方法：?an?是等差数列：
⑴公式法：
①利用通项公式an?kn?b，k，b是常数；②前n项和公式Sn?An2?Bn，A，B是常数． ⑵定义法：?n?N*，an?1?an?d，其中d是常数． ⑶等差中项法：?n?N*，2an?1?an?an?2．
<教师备案>这三种判定方法的层次是逐渐加深的，第⑴种方法是可以求出通项，这个数列就完全确定
了，这种方法相对比较多出现在选择和填空中；第⑵种方法是能求出公差，例7是这种方法；第⑶种方法是不用或很难求出公差，只知道公差是相等的，即an?1?an?an?2?an，例8是用这种方法解决的．一般证明数列是等差数列用的比较多的是后面两种方法．
经典精讲
【铺垫】已知数列?an?满足a1?a2?1，an?1?3an?2an?1?3n?N*，n≥2，
??求证：数列?an?2an?1?是等差数列．
【解析】 ?an?1?2an???an?2an?1??3，因此数列?an?2an?1?是首项为a2?2a1??1，公差为3的等差数
列．
【例7】
已知数列{an}满足a1?5，an?8?161．求证：{bn}是等差数列； (n≥2)，令bn?an?1an?4【解析】 由已知得：bn?11，bn?1?，n≥2， an?4an?1?4第2讲·尖子班·教师版
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