发布时间 : 星期五 文章（新课标）高考数学第一部分基础考点自主练透第5讲计数原理与二项式定理练习理新人教A版更新完毕开始阅读5daa583c81c4bb4cf7ec4afe04a1b0717fd5b345
第5讲 计数原理与二项式定理
一、选择题
1．在某夏令营活动中，教官给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有( )
A．10种 C．70种
B．40种 D．80种
解析：选B．若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C5种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C4种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C5C4＝30种搜寻方案；若Grace参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C5种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C5＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B．
2
2
12
1
2
?ax－1?6
2．(2019·合肥市第一次质量检测)若??的展开式的常数项为60，则a的值为
x??
( )
A．4 C．2
B．±4 D．±2
1?r?ax－1?6r6－r?rr解析：选D．(ax)·a6－r·C6·x6??的展开式的通项为Tr＋1＝C6·?－?＝(－1)·
x?x???33424
－r，令6－r＝0，得r＝4，则(－1)·a·C6＝60，解得a＝±2，故选D． 22
?1?62
3．(2019·重庆市七校联合考试)?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数为( )
x?
?
A．15 C．30
B．20 D．35
?1?626
解析：选C．由多项式乘法知，若求?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数，只需求(1＋x)
x?
?
展开式中x和x的系数．(1＋x)展开式中含x和x的项分别是C6x＝15x和C6x＝15x，所
2
4
6
2
4
22
2
44
4
?1?62
以?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数是30.故选C．
x?
?
4．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有( )
A．4种
B．8种
C．12种 D．24种
1
解析：选B．将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C4种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C4×2＝8种站法，故选B．
5．设(x－3x＋2)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a10x，则a1等于( ) A．80 C．－160
2
5
5
2
5
2
10
1
B．－80 D．－240
5
4
解析：选D．因为(x－3x＋2)＝(x－1)(x－2)，所以二项展开式中含x项的系数为C5×(－1)×C5×(－2)＋C5×(－1)×C5×(－2)＝－160－80＝－240，故选D．
6．(2019·广州市综合检测(一))(2－x)(x＋a)的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x的系数是( )
A．5 C．15
3
5
4
3
5
4
5
5
5
5
4
4
B．10 D．20
5
解析：选A．在(2－x)(x＋a)中，令x＝1，得展开式的各项系数和为(1＋a)＝32，解得
5－r144
a＝1，故(x＋1)5的展开式的通项Tr＋1＝Cr.当r＝1时，得T2＝C5x＝5x，当r＝4时，得5x354T5＝C45x＝5x，故(2－x)(x＋1)的展开式中x的系数为2×5－5＝5，选A．
7．(2019·柳州模拟)从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是( )
A．72 C．66
B．70 D．64
1
1
解析：选D．从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C2·C7
＋C7·C6＝56种选法，三个数相邻共有C8＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法，故选D．
8．(2019·洛阳尖子生第二次联考)某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有( )
A．900种 C．300种
B．600种 D．150种
1
1
1
解析：选B．第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有C5×A4＝240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有C6×A4＝360(种)．所以不同的选派方案共有240＋360＝600(种)．故选B．
9．已知(x＋2)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a9x，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)－(2a2＋4a4＋6a6
＋8a8)的值为( )
A．3
92
9
2
9
2
4
4
2
4
B．3
10
C．3
9
2
11
D．3
9
8
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解析：选D．对(x＋2)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a9x两边同时求导，得9(x＋2)＝a1＋2a2x＋3a3x＋…＋8a8x＋9a9x，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝3，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝3.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝3，故选D．
10．现有红色、蓝色和白色的运动鞋各一双，把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是( )
A．72 C．240
B．144 D．288
12
12
2
2
2
2
7
8
10
解析：选D．首先，选一双运动鞋，捆绑在一起看作一个整体，有C3A2＝6种选法，则现在共有5个位置，若这双鞋在左数第一个位置，共有C2A2A2＝8种情况，若这双鞋在左数第二个位置，则共有C4C2＝8种情况，若这双鞋在中间位置，则共有A2A2A2A2＝16种情况，左数第四个位置和第二个位置的情况一样，第五个位置和第一个位置的情况一样．所以把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是6×(2×8＋2×8＋16)＝288.故选D．
11．(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A．120种 C．188种
B．156种 D．240种
11
2222
122
解析：选A．法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A2A3，A2A3，C2A2A3，C3A2A3，C3A2A3，故总编排方案有A2A3＋A2A3＋C2A2A3＋C3A2A3＋C3A2A3＝120(种)．
法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C4A2A3＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C3A2A3＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C3A2A3＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．
12．(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有( )
A．150 C．90
B．126 D．54
123
123
123
23
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23
23
123
123
123
解析：选B．根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C3种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，
1
C4C23C4C231
共有2·A3种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C3·2·A3种方法；当由
A2A22名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C3·A3种方C4C2323
法．故满足题意的不同安排方案数共有C·2·A3＋C3·A3＝108＋18＝126.故选B．
A2
13
21
2
3
2121
二、填空题
4??x＋－4?的展开式中，x3的系数是________． 13．在?
?x?
5
?x＋4－4?的展开式的通项T＝Cr(－4)5－r·?x＋4?，?x＋4?解析：1，2，3，4，5，?x?r＋15?x?r＝0，?x???????
r5r?4?kkr－2k的展开式的通项Tk＋1＝Cx??＝4Crx，k＝0，1，…，r.令r－2k＝3，当k＝0时，r＝
?x?
kr－kr3
0
0
5－3
k3；当k＝1时，r＝5.所以x的系数为4×C3×(－4)
答案：180.
×C5＋4×C5×(－4)×C5＝180.
3105
14．(2019·福州市质量检测)(1＋ax)(1－x)的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a的值为________．
解析：设(1＋ax)(1－x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x＋a6x＋a7x，令x＝1得0＝a0
＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7①，
令x＝－1得(1－a)2＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7②，
②－①得：(1－a)2＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)2＝128，解得a＝3或a＝－1(舍)．
答案：3
15．(一题多解)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．
解析：法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C16，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C4×C12，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C4×C4，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C16－C4×C12－C4×C4＝472.
法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C4×C4×C4＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为C3×C2×C4×C4＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为C4×C3×C4×C4＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为C4×C3×C4＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．
答案：472
16．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命
1
1
2
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执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有________种．
解析：因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，
E，F捆绑后分类讨论．
当A在第一位时，有A4A2＝48(种)；
当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有C3A3A2＝36(种)；
当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有A2A3种，②E，F在A之后，此时应有A3A2A2种，故而A在第三位时有A2A3＋A3A2A2＝36(种)．
综上，共有48＋36＋36＝120种不同的安排方案． 答案：120
222
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23
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