发布时间 : 星期一 文章第12章变化的电磁场作业解读更新完毕开始阅读5dbffa2ea36925c52cc58bd63186bceb19e8ed02
第十二章 变化的电磁场
线圈的电阻为R，求：（1）当小线圈转过90?时，小线圈中电流的瞬时值；（2）从初始时刻转到该位置的过程中，磁力矩所做功的大小。
解：B?μ0I 2b任一时间穿过小线圈的磁通量 Φ?Bπa2cosωt
ε1dΦBωπa2?sinωt 小线圈的感应电流 i??RRdtRπBωπ2a42 当 ωt?时 pm?iπa?
2R22Iωπ2a4B2ωπ2a4μ0? M?Bpm? 2R4RbB2ωπa22 W??iπaBdθ?R?π2022Iωπ3a4B2ωπ2a4μ0sinθdθ???
R16Rb2212.7 长为L质量为m的均匀金属细棒，以棒端O为中心在水平面内旋转，棒的另一端在半径为L的金属环上滑动，棒端O和金属环之间接一电阻R，整个环面处于均匀磁场B中，B的方向垂直纸面向外，如图。设t?0时，初角速度为ω0，忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻。求：
(1) 当角速度为ω时金属棒内的动生电动势的大小。 (2) 棒的角速度随时间变化的表达式。 解 (1)?i???Bdr??0LL0B?L2r?Bdr= ?
2· · ω · · B · · O· · · ·· · · · · R 图12.22 习题 12.7图
dω1(2) J??M 其中 J?mL2
dt3M?r?BIdr?1BIL202 21BωL2B2ωL4?B()L?22R4R?Ldω3B2L2??dt ω4Rm3B2L2???0exp(?t)
4Rm12.8. 圆柱形匀强磁场中同轴放置一金属圆柱体，半径为R，高为h，电阻率为?，如图所示。若匀强磁场以dBdt?k(k?0,k为恒量)的规律变化，求圆柱体内涡电流的热功率.
解：在圆柱体内任取一个半径为r，厚度为dr，高为h的小圆柱通壁
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第十二章 变化的电磁场
dΦdB?πr2 dtdt2πr 电阻 R?ρ
hdr ε?ε2hdB dP? ??rdrRρdt图12.23 习题 12.8图
P?πhdB23πhkR ()?rdr??02ρdt8ρR222412.9 如图所示，一电磁“涡流”制动器，由一导电率为?和厚度为t的圆盘组成，此盘绕通过其中心的轴以角速度ω旋转，且有一覆盖面积为a的磁场B垂直于圆盘。若面积a是在离轴r日处，试求使圆盘慢下来的转矩的近似表达式。
解：圆盘旋转过程中的任意时刻，在习题12-9解图所示的处，始终有一覆盖面积为a2的磁场B垂直于圆盘。当圆盘经过此处时切割磁力线而产生动生电动势，进而产生一径向感应电流。该感应电流受安培力作用而产生磁力矩，其方向与圆盘旋转方向相反。圆盘上沿径向长度为a的线段切割磁力线时所产生的动生电动势为
εi?(υ?B)?dl?Baυ?Barω
?? o a r ? t
r o B a B a t 习题12-9 习题12-9解图
小方块径向电阻为 R?ρa1? atσt?Bar??t
所以感应电流为 i??iR其所受到的安培力为 F?iaB
所产生的力矩为 M?rF?riaB?r2a2B2??t
12.10 均匀磁场B被限制在半径R?10cm的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里，取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平位置如图所示。设磁场以dBdt?1Ts的匀速率增加，已知
行，
c
? B ? ? O ? ? ?
?b ? ? θ l ? ? ? a第 10 页
d
图12.25 习题 12.10图
第十二章 变化的电磁场
θ??/3，oa?ob?6cm，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
解： 如图12-10 所示 ??d?dB?S dtdt??SdB121dB?(R??ab?ol)dt22dt ?3.68mV? 方向：沿adcb绕向。
12.11 在半径为R的圆柱形空间内，充满磁感应强度为B的均匀磁场， B的方向与圆柱的轴线平行。有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a?R，如图所示，已知磁感应强度随时间的变化率为dBdt，求长直导线中的感应电动势ε。
解：由该问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生电场的场
B? O R a 图12.26 习题 12.11图
强E在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直。如图所示，选取过轴线而平行给定的无限长直导线的
一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)，则在过轴线的长直导线上，因E处处与之垂直，所以电动势为零。又在无限远处E=0，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势? 。
E 该回路的磁通量 ???R2B 由电磁感应定律有 ???B? 12O R a ??0图12.26 ? 习题12.11图 > 0
d?1dB ???R2dt2dt? 的正方向如图所示。
12.12 电量Q均匀分布在半径为a、长为L?L??a?的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度
?绕中心轴线旋转，一半径为2a、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示)。若圆筒转速
按照ω?ω0(1-t/t0)的规律(ω0和t0是已知常数)，随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的
大小和流向。
解：筒以ω旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流
2a a z
Q?，它和通电流螺线管的nI等效。按长螺线管?L2?ω 图12.27 习题12.12图
产生磁场的公式，筒内均匀磁场的磁感应强度为
B??0Q? (方向沿筒的轴向) 2?L筒外磁场为零。所以穿过线圈的磁通量为
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第十二章 变化的电磁场
???aB?在单匝线圈中产生感生电动势为
2?0Q?a22L
2μ0Qa2ω0dΦμ0Qadω ε???(?)?dt2Ldt2Lt0感应电流i为 i??R??0Qa2?02RLt0
i的方向与转向一致。
12.13 如图所示，两个半径分别为R和r的同轴圆形线圈相距x，且R??r，x??R。若大线圈通有电流I而小线圈沿x轴方向以速率υ运动，试求x?NR时(N为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小。
解：由题义，大线圈中的电流I在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的。
?0?0IR22?IR2 B??4?(R2?x2)3/22(R2?x2)3/2故穿过小回路的磁通量为
υ r I x x R ??B?S??0IR?r2 223/22(R?x)2图12.28 习题12.13图
???0Ir2R22x3
由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为
dΦ3μ0πr2IR2dx3μ0πr2IR2εi???υ
dt2x4dt2x4当x=NR时，小线圈回路中的感应电动势为
εi?3μ0πr2Iυ/(2N4R2)
12.14 如图所示，一个限定在半径为R的圆柱体内的均匀磁场B，以1.0?10-2T?s-1恒定速率减少，当把电子放在a，o，c各点处时，其所获得的瞬时加速度(大小和方向)各为若干？设γ?5.0cm？
解：由感应电场的环路定理得
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